"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Одночлены — выражения из числового множителя и степеней переменных. Их умножают, чтобы упрощать алгебраические выражения: коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых переменных складывают. Если одночлен возводят в натуральную степень, коэффициент возводят в эту степень, а показатели переменных умножают на неё. Эти правила помогают быстро выполнять вычисления и готовят к умножению многочленов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — произведение числового множителя и степеней переменных с натуральными показателями. Например, 5a²b и −3x — одночлены, а выражение 2x + y не является одним одночленом: в нём есть сумма. Число тоже считается одночленом, поскольку его можно записать без переменных.
Стандартный вид одночлена — произведение числового коэффициента и степеней различных переменных, записанное без повторов одной и той же переменной. Например, 2a · 3a² · b можно представить как 6a³b. Такая запись нужна, чтобы было удобно сравнивать одночлены и выполнять действия с ними.
Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В записи 7x² коэффициент равен 7, хотя число перед переменной отдельно не указано: подразумевается 1, поэтому x = 1 · x. У противоположного одночлена коэффициент −1: например, у −a² он равен −1.
Степень одночлена в стандартном виде — сумма показателей степеней всех переменных. У 4a²b³ степень равна 2 + 3 = 5, а у ненулевого числового одночлена, например 8, степень равна 0. Степень помогает кратко описывать, сколько раз переменные входят в произведение.
При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножают, а степени одинаковых переменных объединяют. Это возможно благодаря переместительному и сочетательному свойствам умножения: множители можно переставлять и группировать, не меняя произведения. Например, в произведении 2a · 3b · 4a можно собрать числа 2, 3 и 4 отдельно, а переменные a — отдельно.
Правило для степеней с одинаковым основанием следует из самого смысла степени. Например, a² — это a · a, а a³ — это a · a · a; вместе получается пять множителей a, то есть a⁵. Поэтому при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Перед применением правил удобно привести одночлены к стандартному виду. Для этого числовые множители собирают в одну группу, а одинаковые переменные — в другую, после чего записывают их степени. Такой порядок помогает не пропустить множитель и заметить, какие показатели относятся к одной переменной.
Возведение одночлена в натуральную степень означает, что одночлен умножают сам на себя указанное число раз. Так, (ab²)³ = ab² · ab² · ab²: коэффициент повторяется три раза, и каждая переменная тоже повторяется три раза. Поэтому коэффициент возводят в степень, а показатели переменных умножают на неё: (kaᵐbⁿ)ᵖ = kᵖaᵐᵖbⁿᵖ.
Если коэффициент отрицательный, знак результата зависит от числа повторений этого коэффициента. При чётном показателе отрицательные множители можно объединить в пары, и каждая пара даёт положительное произведение. При нечётном показателе одна отрицательная величина остаётся без пары, поэтому результат отрицательный.
| Действие | Правило | Что происходит с коэффициентами | Что происходит с показателями переменных |
|---|---|---|---|
| Умножение одночленов | Перемножить коэффициенты и объединить одинаковые переменные | Коэффициенты перемножаются | Показатели одинаковых переменных складываются |
| Возведение одночлена в натуральную степень | Возвести в степень каждый множитель | Коэффициент возводится в эту степень | Каждый показатель умножается на показатель степени |
| Знак результата при отрицательном коэффициенте | Определить чётность показателя | При чётной степени знак положительный, при нечётной — отрицательный | Показатели переменных умножаются на показатель степени |
Сначала выберите строку по действию, которое требуется выполнить, затем отдельно обработайте коэффициенты и переменные. При возведении в степень не забудьте проверить знак коэффициента. Таблица помогает не смешивать сложение показателей при умножении с умножением показателей при возведении в степень.
Задача 1. Умножить одночлены 3x² и 4x³. Оба множителя уже записаны в удобном виде, и в них есть одна и та же переменная x. Значит, нужно перемножить числа 3 и 4, а показатели x сложить.
Ответ: 12x⁵.
Задача 2. Представить произведение (−2a²b) · 3ab³ в стандартном виде и найти степень полученного одночлена. Переменные записаны не все в одной и той же степени, поэтому сгруппируем одинаковые. После этого определим степень результата, сложив показатели a и b.
Ответ: −6a³b⁴, степень 7.
Задача 3. Возвести одночлен (−2x²y³)⁴ в степень и определить его коэффициент и степень. Скобки означают, что показатель относится ко всему одночлену. Поэтому отдельно возведём коэффициент в четвёртую степень и умножим на 4 показатели обеих переменных.
Ответ: 16x⁸y¹²; коэффициент 16, степень 20.
При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели: например, ошибочно получают x⁶ вместо x⁵ в произведении x² · x³. Так путают умножение степеней с возведением степени в степень. Проверка простая: раскройте степени как повторяющиеся множители и посчитайте, сколько раз встречается основание.
При возведении одночлена в степень могут умножить на показатель только коэффициент, оставив показатели переменных без изменения. Но одночлен повторяется целиком, поэтому каждый множитель встречается указанное число раз. Чтобы проверить себя, раскройте степень как произведение одинаковых одночленов и примените правило сложения показателей.
Ещё одна ошибка — возвести в степень только переменную, не изменив коэффициент. Например, в (2x)³ нельзя оставить число 2 без изменения: скобки охватывают весь одночлен. Подставьте вместо возведения произведение (2x) · (2x) · (2x) и убедитесь, что коэффициент тоже повторяется трижды.
При отрицательном коэффициенте иногда неверно выбирают знак результата. Отрицательное число в чётной степени даёт положительное произведение, а в нечётной — отрицательное. Для проверки посчитайте, сколько отрицательных множителей получится после раскрытия степени, и сгруппируйте их в пары.
Для работы с одночленами нужны умножение чисел, понимание степеней и переместительное и сочетательное свойства умножения. Эти свойства объясняют, почему множители можно группировать, а одинаковые переменные — собирать вместе. Правила пригодятся при упрощении алгебраических выражений и умножении многочленов. Они также используются при преобразовании формул сокращённого умножения, где важно правильно перемножать отдельные слагаемые.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются?
Степень показывает, сколько раз основание является множителем. При умножении степени на степень одинаковые множители объединяются, поэтому их общее количество равно сумме показателей. Например, x² · x³ = x · x · x · x · x = x⁵.
Что нужно возводить в степень, если одночлен записан в скобках?
В степень возводят весь одночлен в скобках: и числовой коэффициент, и каждую переменную. Поэтому (3a²b)² = 3² · a⁴ · b². Скобки показывают, что показатель относится ко всему выражению.
Как найти степень одночлена после умножения?
Сначала запишите результат в стандартном виде, затем сложите показатели всех переменных. Например, у 6a³b² степень равна 3 + 2 = 5. Числовой коэффициент в сумму не входит.
Как определить знак результата при возведении отрицательного одночлена в степень?
Посмотрите на показатель степени. Если он чётный, отрицательный коэффициент даёт положительный результат; если нечётный — отрицательный. Знак переменных при этом учитывается отдельно, как часть их степеней.
Нужно ли сначала приводить одночлены к стандартному виду?
Это удобно, потому что в стандартном виде уже собраны числовые множители и одинаковые переменные. Тогда видно, какие коэффициенты перемножать и какие показатели складывать. Если выражение дано не в стандартном виде, сначала сгруппируйте множители.
§ 18. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень
