§ 22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень

Определения и обозначения

Одночлен — выражение, которое является произведением числового коэффициента и степеней переменных с натуральными показателями. Например, 4a²b и −3xy³ — одночлены, а 2a + b — нет, потому что это сумма, а не произведение. Число, переменная и произведение таких выражений тоже могут быть одночленами. Понятие нужно, чтобы распознавать выражения, к которым применяются правила этой темы.

Стандартный вид одночлена — произведение числового коэффициента и степеней различных переменных, записанных по одному разу. Например, 2a · 3a² · b можно привести к виду 6a³b: множители с одинаковой переменной объединяются. Приведение к стандартному виду позволяет легко сравнивать и умножать одночлены. В записи коэффициент обычно ставят перед переменными.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В одночленах −5x² и 7ab коэффициенты равны соответственно −5 и 7; у выражения x коэффициент равен 1. Коэффициент может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Он показывает числовую часть одночлена и участвует в вычислении знака и величины произведения.

Степень одночлена в стандартном виде — сумма показателей степеней всех переменных: степень 3x²y⁴ равна 2 + 4 = 6. У ненулевого числа степень равна 0, ведь переменных в нём нет. Например, степень числа 8 — ноль. Степень помогает находить, насколько сложным по переменным является одночлен, и предсказывать степень результата действий.

Как это устроено

При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножают, а степени одинаковых переменных объединяют по правилу умножения степеней с одинаковым основанием. Это правило объясняется раскрытием смысла степени: a² · a³ означает пять множителей a, поэтому получается a⁵. Следовательно, показатели складываются, а не перемножаются. Например, коэффициенты 2 и 5 дадут 10, а x³ · x² даст x⁵.

Если множители содержат разные переменные, каждая остаётся в произведении со своим показателем. Например, x² · y³ = x²y³: переменные x и y не имеют общего основания, поэтому их показатели нельзя объединить. Отсутствующую переменную удобно считать имеющей показатель 0, поскольку a⁰ = 1 и умножение на неё ничего не меняет. Так, x² · y³ можно рассматривать как x²y⁰ · x⁰y³.

После перемножения коэффициентов и степеней результат приводят к стандартному виду. Для этого вычисляют числовую часть, объединяют все степени одинаковых переменных и записывают каждую переменную один раз. Например, произведение 2ab · 3a²b даст 6a³b². Такая запись не меняет значения выражения, а лишь делает его удобным для чтения и дальнейших действий.

При возведении одночлена в натуральную степень повторяется умножение этого одночлена на себя несколько раз. Поэтому в степень возводят каждый множитель: коэффициент и степени переменных. Например, (2a³b)² = 2² · (a³)² · b² = 4a⁶b². При возведении степени в степень показатели перемножают, потому что одинаковая группа множителей повторяется несколько раз.

Степень произведения одночленов равна сумме степеней этих одночленов: при умножении показатели одинаковых переменных складываются, а значит, складывается и общая сумма показателей. При возведении одночлена в степень каждый показатель переменной умножается на показатель возведения, поэтому общая степень тоже умножается на него. Например, степень результата для одночлена степени 4, возведённого в квадрат, будет 8. Это позволяет проверить ответ, не пересчитывая все множители.

Правила умножения одночленов и возведения одночлена в степень

Сначала определите, какое действие выполняется, затем отдельно обработайте коэффициенты и переменные. После этого проверьте знак и приведите ответ к стандартному виду. По последнему столбцу удобно проверить, не пропущен ли завершающий шаг.

Разбор задач

Задача 1. Умножить одночлены 3a² и 2a³. Здесь совпадает переменная a, поэтому её степени нужно объединить, а коэффициенты перемножить. Поскольку оба коэффициента положительны, знак произведения будет положительным.

1. Перемножаем числовые коэффициенты: 3 · 2 = 6.
2. Объединяем степени переменной: a² · a³ = a²⁺³ = a⁵.
3. Записываем числовую и буквенную части вместе.

Ответ: 6a⁵.

Задача 2. Умножить одночлены −4x²y и 3xy³. Сначала учитываем знаки: произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно. Затем отдельно перемножаем коэффициенты, складываем показатели x и показатели y, потому что в обоих множителях присутствуют обе переменные.

1. Перемножаем коэффициенты: −4 · 3 = −12.
2. Для x складываем показатели: x² · x = x²⁺¹ = x³. У переменной x без записи показателя подразумевается показатель 1.
3. Для y получаем y · y³ = y¹⁺³ = y⁴.
4. Записываем результат в стандартном виде.

Ответ: −12x³y⁴.

Задача 3. Возвести одночлен (−2a²b³)² в натуральную степень и определить степень результата. Квадрат относится ко всему одночлену, поэтому он действует и на коэффициент −2, и на переменные. Удобно сначала применить правило к каждому множителю, затем найти сумму показателей переменных.

1. Возводим коэффициент в квадрат: (−2)² = 4. Знак положительный, поскольку отрицательное число умножается само на себя.
2. Возводим степени в степень: (a²)² = a⁴ и (b³)² = b⁶.
3. Получаем одночлен 4a⁴b⁶ и складываем его показатели: 4 + 6 = 10.

Ответ: 4a⁴b⁶, степень результата — 10.

Типичные ошибки

Вместо сложения показателей их перемножают. Например, ошибочно считать a² · a³ равным a⁶. Так делают, путая умножение степеней с возведением степени в степень. Проверьте ответ, раскрыв степени: здесь всего пять множителей a, значит, верно a⁵.

В степень возводят только коэффициент. Например, из (2x³)² ошибочно получают 4x³. Причина — знак степени воспринимают как действие только над числом, хотя скобки охватывают весь одночлен. Для проверки распределите показатель по всем множителям: должно получиться 4x⁶.

Оставляют минус при чётной степени отрицательного коэффициента. Например, считают (−3)² равным −9. Это происходит, если не представить степень как произведение: (−3) · (−3) = 9. При проверке определите чётность показателя: чётная степень даёт плюс, нечётная сохраняет минус.

Не приводят ответ к стандартному виду или теряют переменную. Можно оставить множители 2a · 3a² как есть либо забыть b, если она встретилась только в одном множителе. Ошибку допускают, когда считают только одинаковые переменные и не проверяют всю запись. Перемножьте коэффициенты, соберите показатели общих переменных и сверьте, что каждая переменная из исходных множителей осталась в ответе.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужно знать, что такое одночлен и как записать его в стандартном виде. Также пригодится правило умножения степеней с одинаковым основанием: оно объясняет сложение показателей. Освоенные преобразования продолжатся при делении одночленов, умножении многочленов и упрощении алгебраических выражений. В этих темах те же действия помогают быстрее приводить запись к удобному виду.

Что запомнить

• При умножении одночленов перемножают их коэффициенты.
• Показатели одинаковых переменных при умножении складывают.
• Степени разных переменных при умножении сохраняют отдельно.
• При возведении одночлена в степень в эту степень возводят каждый множитель.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• После преобразований одночлен записывают в стандартном виде.