"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Одночлены — выражения из чисел и переменных, соединённых умножением. Их умножение и возведение в натуральную степень позволяют упрощать длинные записи, раскрывать скобки и преобразовывать алгебраические выражения. При умножении перемножают числовые коэффициенты, а показатели одинаковых переменных складывают. При возведении одночлена в степень в эту степень возводят каждый множитель, а показатели переменных умножают на показатель степени. Эти правила помогают быстро получить стандартную запись и определить степень результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — произведение числового множителя и степеней переменных с натуральными показателями. Например, 5a²b и −x³ — одночлены: в них числа и переменные только перемножаются. Выражения a + b и 3x − 2 не являются одночленами, потому что содержат сложение или вычитание. Это понятие помогает узнать, к каким выражениям можно применять правила умножения одночленов.
Стандартный вид одночлена — запись, в которой числовой множитель стоит первым, а одинаковые переменные объединены в одну степень. Например, запись 2a · 3a · b можно привести к виду 6a²b. Такая запись удобна для вычислений: коэффициенты и степени переменных в ней легко увидеть. Перед применением правил полезно проверить, что одночлен уже записан стандартно.
Коэффициент одночлена — числовой множитель в стандартном виде. В записи 7x²y коэффициент равен 7, а в −x он равен −1. Коэффициенты 1 и −1 обычно не пишут: вместо 1a записывают a, а вместо −1a — −a. Знание коэффициента помогает отдельно выполнить числовую часть умножения или возведения в степень.
Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его стандартном виде. Например, у одночлена 4x²y³ степень равна 2 + 3 = 5. Коэффициент при подсчёте не учитывают, поскольку он не содержит переменных. Степень показывает общий порядок перемножения буквенных множителей и помогает сравнивать одночлены.
При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножают, а степени одинаковых переменных объединяют, складывая показатели. Например, в произведении 3a² · 2a³ сначала перемножаются 3 и 2, а затем объединяются степени a. Такой порядок удобен, потому что числовая часть и буквенная часть произведения считаются отдельно. В результате получается одночлен, который можно записать в стандартном виде.
Сложение показателей объясняется смыслом степени. Запись a² означает a · a, а a³ — a · a · a. Если перемножить эти степени, получится пять одинаковых множителей a, то есть a⁵; поэтому a² · a³ = a²⁺³. Основание при этом не меняется, а число его повторений становится общим количеством множителей.
Если в произведении встречаются разные переменные, их степени не объединяют. Например, в a²b · ab³ переменная a и переменная b обозначают разные множители, поэтому отдельно получаются a³ и b⁴. Объединять можно только одинаковые основания: a² не соединяют с b³. Так сохраняется правильный состав произведения и не меняется исходное выражение.
При возведении одночлена в натуральную степень в эту степень возводят каждый множитель. Для коэффициента это обычное возведение числа в степень, а для переменной показатель умножают на показатель одночлена: (2a³b)² = 2²a⁶b². Причина в том, что весь одночлен повторяется множителем указанное число раз. Значит, каждый его множитель тоже повторяется столько же раз.
Если коэффициент отрицательный, знак результата зависит от чётности показателя. При чётном показателе отрицательный коэффициент перемножается сам с собой чётное число раз, и отрицательные знаки попарно дают плюс. При нечётном показателе один отрицательный знак остаётся, поэтому результат отрицательный. Например, (−2)⁴ = 16, а (−2)³ = −8.
| Действие | Коэффициент | Показатели одинаковых переменных | Результат |
|---|---|---|---|
| Умножение одночленов | Перемножить коэффициенты | Сложить | Записать произведение в стандартном виде |
| Возведение одночлена в натуральную степень | Возвести коэффициент в эту степень | Умножить каждый показатель на показатель одночлена | Записать степень одночлена в стандартном виде |
Сначала определи, какое действие выполняется, и найди в таблице нужную строку. Затем отдельно обработай коэффициенты и переменные, после чего запиши результат в стандартном виде. Если в выражении есть оба действия, сначала выполни возведение в степень, а потом умножение.
Нужно отдельно обработать числовую и буквенную части произведения. В первом одночлене есть a² и b, во втором — a и b³. Одинаковые переменные объединяем, а разные переменные не смешиваем.
Ответ: 6a³b⁴. Проверка: у переменной a в произведении было три множителя, у b — четыре, и коэффициент равен произведению 3 и 2. Значит, все части исходного произведения учтены.
Внешняя степень равна четырём, поэтому возводим в четвёртую степень и коэффициент, и каждую переменную. Отрицательный коэффициент даст положительный результат, потому что показатель чётный. Показатели x и y умножаем на 4.
Ответ: 16x¹²y⁸. Положительный коэффициент получился из-за чётной степени отрицательного числа. В записи присутствуют обе переменные, и каждый их показатель увеличен в четыре раза.
Сначала возводим каждый одночлен в указанную степень, затем умножаем получившиеся одночлены. Так меньше риск перепутать сложение показателей при умножении с умножением показателей при возведении степени в степень. В конце складываем показатели всех переменных, чтобы найти степень результата.
Ответ: 72a⁸b⁷, степень одночлена — 15. Проверить коэффициент можно отдельно: оба коэффициента после возведения в степень положительны. Степень верна, потому что в стандартном виде сложены показатели обеих переменных.
При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели: например, ошибочно пишут a² · a³ = a⁶. Так происходит из-за смешения с правилом возведения степени в степень. Для проверки раскрой степени как произведение множителей: a² · a³ содержит пять множителей a, значит, результат — a⁵.
При возведении одночлена в степень можно умножить на показатель только показатели переменных, забыв про коэффициент. Например, в (2x)³ коэффициент тоже нужно возвести в третью степень: получится 8x³, а не 2x³. Ошибку допускают, сосредоточившись на буквенной части. Проверяй, что каждый множитель одночлена, включая число, возведён в указанную степень.
Отрицательный коэффициент при возведении в чётную степень иногда оставляют отрицательным. Причина — знак исходного числа переносят в ответ, не учитывая повторное умножение. Например, (−3)² = 9, а не −9. Чтобы проверить знак, вспомни: чётное число минусов образует положительное произведение, нечётное — отрицательное.
Степень одночлена могут ошибочно принимать за наибольший показатель переменной. Например, степень 4a²b⁵ равна не 5, а 2 + 5 = 7. Такая ошибка возникает, если смотреть на показатели по одному, а не на все переменные сразу. Для проверки выпиши показатели стандартного одночлена и сложи их, не учитывая коэффициент.
Для работы с одночленами нужны понятие степени и правило умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются. Если эти основы знакомы, правила нового преобразования становятся понятнее. Полученные навыки пригодятся при упрощении многочленов, раскрытии скобок и преобразовании алгебраических выражений. Например, они позволяют быстро перемножать слагаемые при раскрытии скобок.
Как понять, записан ли одночлен в стандартном виде?
Числовой множитель должен стоять первым, а одинаковые переменные должны быть объединены в одну степень. Например, 4a²b — стандартный вид, а 2a · 2a · b ещё можно привести к нему.
Что делать с показателями переменных при умножении одночленов?
У одинаковых переменных показатели складывают: a² · a³ = a⁵. Показатели разных переменных не объединяют, поэтому a² · b³ остаётся a²b³.
Почему при возведении степени в степень показатели умножают?
Возведение степени в степень означает, что одну и ту же степень повторяют несколько раз. Поэтому каждый множитель с одинаковым основанием встречается столько раз, сколько показывает внешняя степень: (a²)³ = a⁶.
Нужно ли возводить коэффициент одночлена в степень?
Да, в степень возводят каждый множитель одночлена, в том числе его коэффициент. Например, (−2x)³ = (−2)³x³ = −8x³.
Как найти степень одночлена, если в нём несколько переменных?
Нужно сложить показатели степеней всех переменных в стандартной записи. Например, степень одночлена 5a²b³ равна 2 + 3 = 5.
§ 18. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень
