§ 19. Деление одночлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового коэффициента и степеней переменных, например 6a²b. В стандартном виде число записывают первым, одинаковые переменные объединяют, а их показатели складывают. Такая запись помогает сразу увидеть числовую часть и степени каждой переменной.

Деление одночлена на одночлен — это поиск такого частного, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, если частное умножить на делитель и получить исходный одночлен, деление выполнено верно. Поэтому деление можно проверить обратным действием.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель, включая знак. Например, в одночлене −8x²y коэффициент равен −8. При делении одночленов числовые коэффициенты делят отдельно от переменных, что делает вычисления нагляднее.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, степень 3a²b³ равна 2 + 3 = 5. Показатели нужны, чтобы правильно выполнить деление степеней с одинаковыми основаниями.

Как это устроено

Одночлены можно представить как произведение чисел и множителей-переменных. Поэтому при делении числовые коэффициенты образуют отдельное частное, а переменные разбирают по их основаниям. Например, в числовой части 18 : 6 = 3, независимо от того, какие буквы стоят рядом.

Правило aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ получается из записи степеней как произведений одинаковых множителей. В дроби a⁵/a² два множителя a сокращаются с двумя такими же множителями в знаменателе, и остаются три множителя a. Поэтому показатели вычитают: 5 − 2 = 3, а не делят.

Если переменная есть и в делимом, и в делителе, показатели вычитают для каждой такой переменной отдельно. Например, x⁶ : x² = x⁴, а y³ : y³ = 1, потому что после сокращения не остаётся множителей y. Переменную с показателем 0 обычно не записывают.

Переменная, которая есть только в делимом, остаётся в частном с прежним показателем. Если переменная есть только в делителе, её можно считать переменной с нулевым показателем в делимом: 1 : x² = x⁻² = 1/x². Поэтому в таком случае результат записывается дробью и не является одночленом в обычном виде с неотрицательными показателями.

Делитель должен быть ненулевым, потому что деление на ноль не определено. После вычисления полезно умножить частное на делитель: если получилось делимое, ход решения верен. При проверке нужно учитывать и знак, и каждую степень переменной.

Правило деления одночлена на одночлен

Сначала раздели коэффициенты, затем сравни переменные по одной и вычисли разности показателей. Переменные, оставшиеся в знаменателе, не теряй при записи ответа. После упрощения проверь результат обратным умножением.

Разбор задач

В примерах удобно действовать одинаково: отдельно рассматривать числа и каждую букву. Перед записью ответа нужно проверить, не появились ли отрицательные показатели, и привести выражение к стандартному виду.

Задача: выполнить деление 18a⁵b³ : 6a²b.

1. Разделим коэффициенты: 18 : 6 = 3. Знак положительный, потому что оба коэффициента положительные.
2. Для переменной a вычтем показатели: 5 − 2 = 3. Для b также вычтем показатели: 3 − 1 = 2.
3. Соединим оставшиеся множители и запишем одночлен в стандартном виде: 3a³b².

Ответ: 3a³b². Проверка: 3a³b² · 6a²b = 18a⁵b³, значит, частное найдено верно.

Задача: выполнить деление −24x⁴y²z : 8xy.

1. Разделим коэффициенты: −24 : 8 = −3. Частное отрицательное, так как знаки коэффициентов разные.
2. Для x получим показатель 4 − 1 = 3, для y — 2 − 1 = 1. Переменная z есть только в делимом, поэтому остаётся без изменения.
3. Запишем результат: −3x³yz. Показатель 1 у переменной y можно не писать.

Ответ: −3x³yz. Проверка: −3x³yz · 8xy = −24x⁴y²z, то есть получилось исходное делимое.

Задача: упростить выражение (−35m³n²) : (5mn⁴) и проверить результат.

1. Разделим коэффициенты: −35 : 5 = −7. Для m разность показателей равна 3 − 1 = 2, а для n — 2 − 4 = −2.
2. Запишем промежуточный результат −7m²n⁻². Отрицательный показатель означает, что n² нужно перенести в знаменатель.
3. Получим −7m²/n². Переменная n не может быть равна нулю, поскольку исходный делитель содержит n⁴.

Ответ: −7m²/n². Проверка: (−7m²/n²) · (5mn⁴) = −35m³n², при n ≠ 0. Результат совпал с делимым.

Типичные ошибки

Делить показатели степеней вместо вычитания — ошибка: например, из x⁶ : x² нельзя получить x³. Её допускают, перенося действие деления с коэффициентов на показатели. Проверка проста: запиши степени произведениями одинаковых множителей и сократи общие.

Нельзя вычитать показатели у разных переменных: из x⁵y³ не следует получить x². Правило работает только для одинаковых оснований, поэтому x сравнивают с x, а y — с y. Перед вычислением выпиши показатели отдельно для каждой буквы.

При делении легко потерять знак коэффициента, особенно если делимое отрицательное. Разные знаки дают отрицательное частное, одинаковые — положительное. Перепроверь знаки отдельно от вычисления степеней или выполни обратное умножение.

Иногда считают, что деление всегда даёт одночлен, и не записывают переменную в знаменателе. Если её показатель в делителе больше, чем в делимом, разность отрицательна: например, x² : x⁵ = 1/x³. Чтобы проверить себя, сравни показатели и не оставляй отрицательный показатель незамеченным.

Связь с другими темами

Для деления нужно уметь записывать одночлен в стандартном виде, определять его коэффициент и степень, а также пользоваться свойствами степеней с одинаковыми основаниями. Эти знания позволяют разбирать числовую и буквенную части по отдельности. Деление пригодится при упрощении выражений и действиях с многочленами, составленными из одночленов. Если переменная оказывается в знаменателе, результат связывает тему с дробно-рациональными выражениями.

Что запомнить

• Делить одночлены можно только при ненулевом делителе.
• Коэффициенты делят отдельно.
• Показатели одинаковых переменных при делении вычитают.
• Переменные с нулевым показателем в результат не записывают.
• Знак частного определяется знаками коэффициентов.
• Результат полезно проверять умножением частного на делитель.
• Если показатель после вычитания отрицательный, соответствующая переменная оказывается в знаменателе.