§ 19. Деление одночлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового множителя и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями. Например, 4a²b — одночлен, потому что в нём перемножены число и степени переменных. В стандартном виде сначала записывают числовой множитель, затем буквенную часть, а одинаковые переменные объединяют. Такое представление помогает увидеть, что именно нужно делить.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель: в выражении −3x² коэффициент равен −3. Он может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Коэффициент показывает числовую часть одночлена, поэтому при делении её вычисляют отдельно от буквенной. Если коэффициент равен нулю, весь одночлен равен нулю.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его буквенной части. Например, степень одночлена 2x³y² равна 3 + 2 = 5. Степень ненулевой константы, например числа 7, равна нулю, так как переменных в ней нет. Это определение позволяет отличать степень всего одночлена от показателя одной переменной.

Частное одночленов — результат деления одного одночлена на другой, если полученное выражение можно записать как одночлен. Для этого показатели переменных после вычитания должны быть неотрицательными целыми числами. Например, при делении x⁵ на x² остаётся x³, и частное является одночленом. Это условие помогает проверить, подходит ли результат под определение одночлена.

Как это устроено

Одночлен состоит из числовой и буквенной частей, поэтому их удобно делить по отдельности. Сначала вычисляют частное числовых коэффициентов, а затем упрощают степени переменных. Например, в выражении 12a⁵ : 3a² число 12 делят на 3, а степени a рассматривают отдельно. Такой порядок снижает риск перепутать числовые вычисления с действиями над показателями.

Правило для буквенной части следует из смысла степеней. Запись xᵐ означает произведение m множителей x, а xⁿ в делителе показывает, сколько таких множителей нужно сократить. Поэтому при делении одинаковых оснований остаётся xᵐ⁻ⁿ: показатели вычитают, а не делят. Например, x⁵ : x² = x³, потому что после сокращения двух множителей x остаются три.

Для каждой переменной сравнивают её показатели в делимом и делителе. Из показателя в делимом вычитают показатель в делителе, потому что именно делимое стоит сверху в записи дроби и содержит сокращаемое произведение. Если переменная есть только в делимом, в делителе для неё нет множителей, которые можно сократить, поэтому она остаётся в частном с прежним показателем. Переменная, которая есть только в делителе, дала бы отрицательный показатель, а такое выражение не будет одночленом.

Чтобы результат был одночленом, каждый полученный показатель должен быть неотрицательным целым числом. Если, например, показатель b в делимом равен 2, а в делителе — 4, разность 2 − 4 равна −2. Тогда частное содержит b⁻² и не является одночленом по принятому здесь определению. Отрицательная разность показывает, что в делителе переменной было больше, чем можно сократить из делимого.

Итак, делят коэффициенты и вычитают показатели одинаковых переменных, сохраняя переменные, которые есть только в делимом. После вычислений проверяют, что все показатели частного неотрицательны и целые. Также нужно убедиться, что делитель не равен нулю, ведь деление на ноль не определено. Если коэффициенты имеют разные знаки, коэффициент частного будет отрицательным, а при одинаковых знаках — положительным.

Правила деления одночлена на одночлен

Пользуйся таблицей по порядку: начни с коэффициентов, затем разберись с каждой переменной. После вычислений проверь полученные показатели и сам делитель. Если все условия выполнены, запиши результат в стандартном виде.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 12a⁵ : 3a². В делимом и делителе есть одинаковая переменная a, поэтому для неё можно применить правило деления степеней. Отдельно посчитаем коэффициенты и проверим, что полученный показатель допустим.

1. Разделим коэффициенты: 12 : 3 = 4.
2. Вычтем показатели переменной a: 5 − 2 = 3, значит, остаётся a³.
3. Объединим части: 4a³. Показатель 3 — неотрицательное целое число.

Ответ: 4a³. При проверке можно умножить результат на делитель: 4a³ · 3a² = 12a⁵, то есть снова получится делимое.

Задача 2. Вычислите −18x⁴y³ : 6xy. Здесь коэффициенты имеют разные знаки, а в буквенной части нужно отдельно рассмотреть x и y. Сначала вычислим числовую часть, затем выполним вычитание для каждой переменной.

1. Разделим коэффициенты: −18 : 6 = −3.
2. Для x получим показатель 4 − 1 = 3, поэтому в частном будет x³.
3. Для y получим показатель 3 − 1 = 2, поэтому в частном будет y².
4. Запишем части вместе: −3x³y². Оба показателя неотрицательные целые числа.

Ответ: −3x³y². Знак минус появился потому, что коэффициенты делимого и делителя имеют разные знаки.

Задача 3. Вычислите 15a³b² : (−5ab⁴) и определите, является ли частное одночленом. Важно не только выполнить деление, но и проверить показатели обеих переменных. Особенно внимательно посмотрим на b, поскольку её показатель в делителе больше.

1. Разделим коэффициенты: 15 : (−5) = −3.
2. Для a вычтем показатели: 3 − 1 = 2, поэтому получим a².
3. Для b получим 2 − 4 = −2, то есть при формальном преобразовании выходит b⁻².
4. Поскольку показатель b отрицательный, результат не является одночленом по определению этой темы.

Ответ: частное при делении равно −3a²b⁻², но оно не является одночленом. Причина — отрицательный показатель переменной b.

Типичные ошибки

Первая ошибка — вычитать показатель делимого из показателя делителя. Так меняют порядок действий и получают неверную разность: нужно вычислять показатель делимого минус показатель делителя. Ошибка возникает, когда не определяют заранее, где делимое, а где делитель. Проверь себя, записав их в исходном порядке, например: x⁵ : x² даёт 5 − 2.

Вторая ошибка — делить показатели степеней, например считать, что x⁶ : x² = x³. При одинаковых основаниях показатели вычитают, потому что сокращают одинаковые множители, а не делят их количество. Такое заблуждение часто появляется из-за смешения двух правил. Для проверки используй равенство xᵐ : xⁿ = xᵐ⁻ⁿ.

Третья ошибка — забыть разделить коэффициенты или неверно определить знак частного. Буквенные части не заменяют числовое вычисление, поэтому коэффициенты нужно обработать отдельно. Ошибка возможна, если сразу сосредоточиться на степенях переменных. Проверь, что числовой результат получен делением коэффициентов, а знак соответствует знакам исходных чисел.

Четвёртая ошибка — записать ответ как одночлен, не проверив показатели. Если при вычитании получился отрицательный показатель, результат не подходит под определение одночлена в этой теме. Это часто происходит, когда механически применяют правило степеней и не оценивают итог. После вычислений выпиши все показатели и проверь каждый: он должен быть целым и неотрицательным.

Связь с другими темами

Для деления одночленов нужно знать стандартный вид одночлена, его коэффициент и буквенную часть. Эти понятия помогают разделить выражение на числовую и буквенную составляющие, а затем обработать их по правилам. Также необходимо уметь делить целые числа, в том числе учитывать знаки, и применять свойства степеней с одинаковым основанием. Освоенное правило пригодится при преобразовании алгебраических выражений и дальнейшей работе с многочленами.

Что запомнить

• Коэффициенты одночленов делят.
• Показатели одинаковых переменных вычитают: показатель делимого минус показатель делителя.
• Переменную, которая есть только в делимом, оставляют в частном.
• Для частного-одночлена все показатели должны быть неотрицательными целыми числами.
• На ноль делить нельзя.
• Знак частного определяется знаками числовых коэффициентов.