1.7. Деление одночлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового коэффициента и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями. В стандартном виде сначала записывают коэффициент, а затем переменные с показателями, например −4a²b³. Такая запись помогает увидеть, какие числа и переменные нужно делить.

Деление одночлена на одночлен — это нахождение такого одночлена, который при умножении на делитель даёт делимое. Например, при делении 12a⁵ на 3a² нужно найти выражение, для которого 3a² · выражение = 12a⁵. Это определение подсказывает, почему коэффициенты делят, а показатели степеней вычитают.

Частное одночленов — результат деления одного одночлена на другой. Записать его одночленом можно тогда, когда показатели всех переменных после вычисления остаются неотрицательными целыми числами. Если появляется отрицательный показатель, результат можно рассматривать как дробное выражение, но одночленом в принятом определении он уже не будет.

Как это устроено

Сначала делят числовые коэффициенты. Удобно разделить их абсолютные значения, то есть числа без знаков, а затем отдельно определить знак результата: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Например, при делении −18 на 6 коэффициент частного равен −3.

У одинаковых переменных показатели вычитают: показатель делимого минус показатель делителя. Причина в том, что при умножении степени с одинаковым основанием показатели складываются, а деление отменяет действие умножения. Поэтому a⁷ : a³ = a⁷⁻³ = a⁴.

Переменная, которая встречается только в делимом, никуда не исчезает. Её можно представить как деление на степень с нулевым показателем: b⁴ : 1 = b⁴. Так в частном сохраняется вся степень этой переменной.

Если переменная есть только в делителе, в делимом у неё фактически показатель 0. После вычитания получается отрицательное число, например a² : a⁵ = a⁰⁻⁵ = a⁻³. Поэтому такой результат нельзя записать одночленом с неотрицательными показателями.

Перед вычислением полезно привести оба выражения к стандартному виду и записать одинаковые переменные рядом. Затем отдельно сравнивают коэффициенты и показатели каждой переменной. В конце результат проверяют умножением частного на делитель: должен восстановиться исходный одночлен.

Правила деления одночленов

Пользуйтесь таблицей как последовательным алгоритмом: сначала найдите знак и разделите коэффициенты, затем обработайте каждую переменную. Если переменная встречается только в одном выражении, проверьте, не возникнет ли отрицательный показатель.

После записи ответа полезно выполнить обратное действие. Умножение частного на делитель должно вернуть делимое без лишних или пропущенных множителей.

Разбор задач

Задача 1. Разделить 12a⁵ на 3a²

Оба одночлена содержат одну и ту же переменную, поэтому можно применить правило вычитания показателей. Коэффициенты и степени обработаем отдельно. После этого проверим результат умножением.

1. Делим коэффициенты: 12 : 3 = 4.
2. Вычитаем показатели a: 5 − 2 = 3.
3. Объединяем результаты: 12a⁵ : 3a² = 4a³.

Ответ: 4a³. Проверка: 4a³ · 3a² = 12a⁵.

Задача 2. Разделить −18x⁴y³ на 6x²y

Здесь нужно обработать две переменные и не забыть о знаке. Знаки делимого и делителя разные, значит, частное будет отрицательным. Показатель y у делителя равен 1, хотя единицу обычно не пишут.

1. Делим коэффициенты по модулю: 18 : 6 = 3, а знак частного будет «−».
2. Для x получаем 4 − 2 = 2, поэтому остаётся x².
3. Для y получаем 3 − 1 = 2, поэтому остаётся y².
4. Записываем частное: −3x²y².

Ответ: −3x²y². Проверка: (−3x²y²) · 6x²y = −18x⁴y³.

Задача 3. Разделить 8a³b² на 4ab⁴

Коэффициенты делятся без остатка, а обе переменные есть в обоих одночленах. Для каждой переменной нужно выполнить вычитание в одном порядке: показатель делимого минус показатель делителя. Отрицательный показатель b покажет, что частное не является одночленом.

1. Делим коэффициенты: 8 : 4 = 2.
2. Для a: 3 − 1 = 2, получаем a².
3. Для b: 2 − 4 = −2, получаем b⁻².
4. Формально частное равно 2a²b⁻², или 2a²/b².

Ответ: частное не является одночленом, потому что показатель b отрицательный. В виде дроби его можно записать как 2a²/b².

Типичные ошибки

Показатели одинаковых переменных иногда складывают вместо вычитания. Так делают, потому что сложение показателей действительно используется при умножении степеней. Проверьте действие обратным умножением: для деления показатель должен уменьшаться.

Показатели могут вычесть в обратном порядке: 2 − 5 вместо 5 − 2. Тогда знак показателя изменится, поэтому сначала определите, где делимое, а где делитель. Полезно проговаривать правило: «показатель делимого минус показатель делителя».

Можно забыть разделить коэффициенты или неправильно определить знак частного. Такая ошибка появляется, когда сразу перемножают буквенную часть, не разбирая выражение на части. Сначала выполните числовое деление, а затем умножьте ответ на делитель для проверки.

Иногда выражение с отрицательным показателем называют одночленом. Причина в том, что отрицательная степень всё ещё выглядит как степень переменной, но по определению показатели одночлена неотрицательны. Проверьте каждый показатель готового ответа и при необходимости запишите результат дробью.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь распознавать одночлен, приводить его к стандартному виду, находить коэффициент и степень. Без этого легко перепутать числовую часть с буквенной или не заметить одинаковые переменные.

Также нужны правила умножения степеней с одинаковыми основаниями и деления числовых дробей. Деление одночленов опирается на эти уже известные действия, только выполняются они одновременно для коэффициента и переменных.

Навык пригодится при сокращении алгебраических выражений и работе с дробными выражениями. Он помогает быстро выделять общие множители и упрощать записи.

Что запомнить

• При делении одночленов коэффициенты делят.
• У одинаковых переменных показатели вычитают: показатель делимого минус показатель делителя.
• Знак частного зависит от знаков делимого и делителя.
• Переменные, имеющиеся только в делимом, сохраняются в частном.
• Частное является одночленом, если его можно записать с неотрицательными целыми показателями.
• Проверка деления: частное умножить на делитель и сравнить с делимым.