1.8. Подобные одночлены. Сложение и вычитание подобных одночленов

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, 4a²b и −3xy — одночлены, а 2a + b не одночлен: здесь слагаемые соединены сложением. Числа, переменные и их степени в произведении можно записывать в удобном порядке. Это определение помогает отличать одночлен от выражения, состоящего из нескольких слагаемых.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В одночлене 6a² коэффициент равен 6, а в −2xy — −2. Если число перед буквенной частью не записано, подразумевается множитель 1; если стоит только минус — множитель −1. Коэффициент нужен, чтобы выполнять действия с одночленами, не меняя их буквенную часть.

Буквенная часть одночлена — произведение переменных с указанными степенями. Например, у 5a²b буквенная часть — a²b, а у −3ab² — ab². В ней важны и сами переменные, и их показатели: a²b и ab² различаются. Буквенная часть позволяет понять, какие одночлены можно объединять.

Подобные одночлены — это одночлены с одинаковой буквенной частью. Так, 3a²b и −5a²b подобны, потому что в обоих случаях буквенная часть a²b. Коэффициенты у них могут быть разными, в том числе отрицательными. Это понятие помогает сократить запись выражений, содержащих одинаковые буквенные множители.

Как это устроено

Чтобы проверить, подобны ли два одночлена, сначала приводят их к стандартному виду: собирают числовые множители и записывают переменные с их степенями. Затем сравнивают только буквенные части. Совпасть должны и переменные, и показатели степеней, поэтому 2ab и 2a²b не подобны. Одинаковые буквы сами по себе не делают одночлены подобными: степень показывает, сколько раз переменная входит в произведение.

При сложении подобных одночленов складывают коэффициенты, а общую буквенную часть записывают один раз. Причина в том, что повторяющийся множитель можно вынести за скобки: 3a²b + 5a²b = (3 + 5)a²b = 8a²b. Меняются только числа перед этим множителем. Повторно перемножать буквенные части не нужно: в слагаемых уже стоит одна и та же часть.

Вычитание устроено так же, но коэффициенты не складывают, а вычитают. Например, 7xy − 2xy = (7 − 2)xy = 5xy, потому что xy — общий множитель обоих слагаемых. Знак перед одночленом входит в его коэффициент: в выражении 4a − 6a коэффициенты равны 4 и −6. Поэтому результат можно проверить как действие с целыми числами: 4 + (−6) = −2.

Если числовой множитель не написан, коэффициент всё равно есть: он равен 1. Запись m − 4m означает 1m − 4m, поэтому получается (1 − 4)m = −3m. Когда перед буквенной частью стоит минус, коэффициент равен −1: например, −x — это (−1)x. Такой способ записи помогает не терять слагаемое или его знак при вычислениях.

Если буквенные части отличаются, объединить одночлены в один нельзя: например, 2a и 3a² имеют разные степени переменной. Сначала можно собрать отдельно все слагаемые с одинаковыми буквенными частями. После этого коэффициенты складывают или вычитают внутри каждой группы, а остальные одночлены оставляют без изменений. Так выражение становится короче, но его значение не меняется.

Как распознавать и преобразовывать одночлены

Используйте таблицу как короткий порядок действий: сначала сравните буквенные части, затем выберите подходящее правило. Если коэффициент не записан, восстановите его с учётом знака. Если части различаются, не объединяйте слагаемые.

Разбор задач

Задача 1. Укажите, какие пары одночленов подобны: 3a и −5a; 2ab и 2a²b. Нужно сравнить буквенные части, а не числа перед ними. Проверим отдельно каждую пару, внимательно учитывая показатели степеней. Это позволит не принять одинаковые буквы за достаточное условие.

1. У одночленов 3a и −5a буквенная часть одна и та же — a. Коэффициенты 3 и −5 различаются, но это не мешает подобию.
2. У 2ab буквенная часть ab, а у 2a²b — a²b. Показатель при a разный, поэтому эти части не совпадают.

Ответ: первая пара подобна, вторая — нет. При проверке достаточно сравнить переменные и показатели в буквенных частях. Коэффициенты для этого сравнения не важны.

Задача 2. Упростите выражение 6x − 9x + 2x. Все слагаемые имеют буквенную часть x, поэтому их можно объединить. Запишем выражение как сумму коэффициентов, умноженную на общий множитель. Знак минус означает, что коэффициент среднего слагаемого равен −9.

1. Выделяем коэффициенты: 6, −9 и 2. Буквенная часть у всех слагаемых — x.
2. Выполняем действия с числами: 6 − 9 + 2 = −1. Буквенную часть оставляем без изменения.
3. Записываем результат: −1x = −x. Единицу перед переменной обычно не пишут.

Ответ: −x. Проверка состоит в том, чтобы убедиться, что коэффициенты посчитаны со своими знаками. Буквенная часть x должна остаться один раз.

Задача 3. Упростите выражение 4a²b − 3ab² + 7a²b + 5ab² − 2a²b. Здесь есть две разные буквенные части: a²b и ab². Поэтому нельзя сложить коэффициенты всех пяти слагаемых сразу; сначала нужно распределить их по подходящим группам. Затем вычислить каждую группу отдельно.

1. Группируем слагаемые с a²b: 4a²b + 7a²b − 2a²b. Отдельно группируем слагаемые с ab²: −3ab² + 5ab².
2. Считаем коэффициенты первой группы: 4 + 7 − 2 = 9, значит, она даёт 9a²b. Во второй группе коэффициенты −3 + 5 = 2, значит, получается 2ab².
3. Записываем результат 9a²b + 2ab². Эти слагаемые имеют разные буквенные части, поэтому дальше их объединить нельзя.

Ответ: 9a²b + 2ab². Для проверки посмотрите, что у каждой группы сохранена своя буквенная часть. Если показатели степеней в двух частях различаются, слагаемые нужно оставить раздельно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать одночлены подобными, если в них есть одинаковые переменные, не сравнивая степени. Так часто происходит, потому что взгляд цепляется за буквы и пропускает маленькие числа над ними. Но у a²b и ab² показатели распределены по переменным по-разному. Проверьте каждую букву и её показатель отдельно.

Ошибка: складывать или вычитать буквенные части вместо коэффициентов. Например, нельзя превращать 3a + 5a в 8aa: переменная здесь не повторно умножается, ведь она уже является общим множителем. Проверьте преобразование, вынеся общую часть за скобки. Если слагаемые подобны, в результате буквенная часть должна появиться один раз.

Ошибка: забывать коэффициент 1 у одночлена без числа или не учитывать минус. Ученик может принять m за выражение без коэффициента или посчитать −m как m, поскольку знак легко потерять при переписывании. Запишите m как 1m, а −m как (−1)m. Затем проверьте вычисления коэффициентов с их знаками.

Ошибка: объединять неподобные одночлены. Иногда кажется, что любые слагаемые с буквами можно сократить до одного выражения, но 2a и 3a² имеют разные буквенные части. Сравните показатели степеней перед тем, как складывать коэффициенты. Если части не совпадают, оставьте слагаемые раздельно.

Связь с другими темами

Перед этой темой нужно уметь выполнять действия с целыми числами и степенями с натуральными показателями, а также приводить одночлены к стандартному виду. Эти навыки нужны, чтобы верно определить коэффициент и сравнить буквенные части. Приведение подобных одночленов, в свою очередь, помогает упрощать выражения и раскрывать скобки. Оно также применяется при решении уравнений, где короткая запись облегчает дальнейшие вычисления.

Что запомнить

• Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть.
• Коэффициенты подобных одночленов могут быть разными.
• При сложении подобных одночленов складывают коэффициенты.
• При вычитании подобных одночленов вычитают коэффициенты.
• Буквенную часть при сложении и вычитании сохраняют.
• Незаписанный коэффициент равен 1, а коэффициент перед одночленом с минусом — −1.
• Неподобные одночлены не объединяют.