§ 23. Деление одночлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового множителя и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями: 5a²b или −3x⁴. Одночлены обычно записывают в стандартном виде, чтобы их части было удобно сравнивать. Такая запись помогает сразу увидеть коэффициент и показатели переменных.

Стандартный вид одночлена — произведение числового коэффициента и степеней различных переменных, например 7a³b². Число 7 называют коэффициентом одночлена, а буквы с показателями образуют его буквенную часть. Сначала к стандартному виду приводят выражение, чтобы затем без ошибок выполнять деление.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных в его стандартной записи. Например, степень одночлена 4x²y⁵ равна 2 + 5 = 7. Степень ненулевой константы равна нулю, потому что в ней нет переменных.

Деление одночлена на одночлен — это действие, при котором находят одночлен, произведение которого на делитель равно делимому. В записи a : b число или выражение b называют делителем, а делимое должно быть восстановимо умножением. Делитель не должен быть равен нулю.

Как это устроено

Перед делением оба одночлена приводят к стандартному виду: перемножают числовые множители и собирают степени одинаковых переменных. Например, 2a · 3a²b превращается в 6a³b. После этого коэффициенты и буквенную часть можно обрабатывать отдельно.

Правило степеней объясняется умножением. Если разделить a⁷ на a³, то три множителя a сокращаются с тремя из семи, и остаётся четыре множителя: a⁷ : a³ = a⁴. Поэтому при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.

Коэффициенты делят отдельно, потому что числовая и буквенная части одночлена являются множителями общего произведения. Для каждой общей переменной из показателя в делимом вычитают показатель в делителе. Например, 18a⁵b³ : 6a²b = (18 : 6)a⁵⁻²b³⁻¹.

Частное остаётся одночленом, если каждый показатель после вычитания неотрицателен. Значит, показатель переменной в делимом должен быть не меньше её показателя в делителе. Переменная, которая есть только в делителе, получает отрицательный показатель, поэтому результат нельзя записать одночленом стандартного вида.

После вычислений полезно выполнить обратное действие — умножить частное на делитель. При этом нужно внимательно следить за знаками коэффициентов: плюс на минус даёт минус, а минус на минус — плюс. Нулевой одночлен делится на любой ненулевой одночлен, и частное в этом случае равно нулю.

Как делить одночлен на одночлен

Сначала найдите в таблице действие для коэффициентов, затем отдельно разберите каждую переменную. Для отсутствующей переменной показатель можно считать равным нулю. В конце проверьте результат умножением.

Разбор задач

Задача 1. Разделите 18a⁵b³ на 6a²b.

Нужно отдельно разделить числа и степени одинаковых переменных. Переменные a и b встречаются в обоих одночленах, поэтому для каждой из них применяем вычитание показателей. Все полученные показатели неотрицательны, значит, частное будет одночленом.

1. Разделим коэффициенты: 18 : 6 = 3.
2. Для переменной a вычтем показатели: 5 − 2 = 3.
3. Для переменной b вычтем показатели: 3 − 1 = 2.
4. Соединим результат: 18a⁵b³ : 6a²b = 3a³b².

Ответ: 3a³b². Проверка: 3a³b² · 6a²b = 18a⁵b³.

Задача 2. Разделите −28x⁴y² на 7xy².

Сначала определим знак: отрицательный коэффициент делим на положительный, поэтому частное отрицательное. Затем разделим коэффициенты и вычтем показатели у x и y. Показатель y станет нулём, поэтому множитель y⁰ равен 1 и в ответе не записывается.

1. Разделим коэффициенты с учётом знака: −28 : 7 = −4.
2. Для x получим показатель 4 − 1 = 3.
3. Для y получим показатель 2 − 2 = 0, поэтому y⁰ = 1.
4. Запишем частное: −28x⁴y² : 7xy² = −4x³.

Ответ: −4x³. Проверка: −4x³ · 7xy² = −28x⁴y².

Задача 3. Можно ли представить частное 12a²b на 3a⁴ в виде одночлена стандартного вида?

Сравним показатели переменной a: в делимом стоит 2, а в делителе — 4. После вычитания получается 2 − 4 = −2, то есть отрицательный показатель. Следовательно, результат нельзя записать одночленом с неотрицательными целыми показателями.

1. Разделим коэффициенты: 12 : 3 = 4.
2. Для a вычтем показатели: 2 − 4 = −2.
3. Переменная b есть только в делимом, поэтому она сохраняется: b¹ = b.
4. Формально частное имеет вид 4a⁻²b, или 4b/a², но это не одночлен стандартного вида.

Ответ: представить частное в виде одночлена стандартного вида нельзя.

Типичные ошибки

Иногда показатели вычитают в обратном порядке и получают неверную степень. Нужно помнить: показатель делителя вычитают из показателя делимого. Проверка умножением сразу показывает ошибку, потому что показатели при умножении должны восстановить исходные.

Нельзя вычитать показатели у разных переменных, например у x и y. Правило относится только к степеням с одинаковым основанием. Чтобы проверить себя, сопоставляйте буквы попарно, а не просто вычёркивайте любые показатели.

Переменная, оставшаяся только в делителе, не исчезает бесследно. Её показатель становится отрицательным, поэтому частное не является одночленом с неотрицательными показателями. Сравните показатели этой переменной до вычисления и проверьте знак разности.

Ещё одна ошибка — забыть разделить коэффициенты или потерять знак. Числа обрабатывают отдельно от буквенной части, а знаки перемножают по обычному правилу. Для самопроверки умножьте найденный коэффициент и переменные обратно на делитель.

Связь с другими темами

До изучения деления одночленов нужно уметь приводить одночлены к стандартному виду, умножать их и применять правило умножения степеней с одинаковым основанием. Эти действия объясняют, почему при делении коэффициенты обрабатываются отдельно, а показатели вычитаются.

Навык пригодится при преобразовании алгебраических выражений и сокращении дробей с одночленами. Он также помогает распознавать случаи, когда после сокращения получается не одночлен, а выражение с переменной в знаменателе.

Что запомнить

• Делитель не должен быть равен нулю.
• Коэффициенты одночленов делят отдельно.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают.
• Показатель переменной в частном должен быть неотрицательным, чтобы частное было одночленом.
• Переменная, отсутствующая в делителе, сохраняет свой показатель из делимого.
• Результат можно проверить умножением частного на делитель.