§20. Основные понятия

Определения и обозначения

Функция — соответствие, при котором каждому значению независимой переменной из заданного множества соответствует ровно одно значение зависимой переменной. Иными словами, для каждого разрешённого входного значения правило даёт один результат. Это условие помогает отличить функцию от соответствия, в котором одному входу отвечают несколько результатов.

Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x. Её допустимые значения образуют область определения функции. Аргумент выбирают, чтобы узнать, какой результат даст правило, поэтому область определения показывает, какие входные значения разрешено использовать.

Значение функции — результат, который соответствует аргументу x; его обозначают f(x). Запись y = f(x) говорит, что величина y зависит от x и находится по правилу функции. Она нужна, чтобы различать выбранный аргумент и полученный результат.

Область определения — множество допустимых аргументов, а область значений — множество значений, которые принимает функция. Первая описывает возможные входы, вторая — возможные выходы. Эти множества могут быть разными, поэтому их важно не смешивать.

Как это устроено

Зависимость между величинами можно описать правилом: например, расход денег зависит от количества купленных тетрадей. Чтобы такая зависимость была функцией, при каждом допустимом количестве тетрадей должен получаться один расход. Если одному и тому же количеству поставить в соответствие несколько разных расходов без дополнительного условия, однозначного правила нет. Именно поэтому единственность результата входит в определение функции.

В записи y = f(x) буква x обозначает выбранный аргумент, а f(x) — результат применения правила к этому аргументу. Сначала проверяют, разрешено ли выбранное x, то есть принадлежит ли оно области определения. Затем подставляют его в правило и находят y. Например, если правило задано формулой, значение функции получают вычислением, а не просто переписыванием аргумента.

Область определения бывает ограничена условием задачи: например, число людей или предметов нельзя считать отрицательным, а количество целых предметов обычно берут целым числом. Ограничения могут возникать и из самой формулы. Так, в выражении 5/(x − 2) при x = 2 знаменатель равен нулю, а делить на ноль нельзя. Поэтому при поиске области определения учитывают и смысл задачи, и допустимость вычислений по формуле.

Область определения и область значений отвечают на разные вопросы. Первая показывает, какие x можно подставлять, а вторая — какие результаты y действительно получаются при этих x. Чтобы найти область значений, недостаточно посмотреть на возможные аргументы: нужно применить правило и собрать полученные результаты. Например, в таблице область определения составят значения из столбца x, а область значений — значения из столбца y.

Одну и ту же функцию можно представить словами, формулой, таблицей или графиком. Словесное описание объясняет правило, формула позволяет вычислять, таблица перечисляет отдельные пары значений, а график показывает их на координатной плоскости. Это разные способы сообщить одну зависимость, если они задают одинаковые пары аргументов и результатов. При переходе от одного способа к другому важно сохранять и правило, и область допустимых значений.

Основные понятия о функции

В таблице собраны названия основных элементов функции и способы их обозначения. Используйте её, чтобы проверить, какое множество относится к аргументам, а какое — к результатам. При разборе любой функции сначала найдите правило и область определения, затем рассмотрите значения функции.

Разбор задач

Задача 1. Зависимость задана формулой y = 3x − 2. Найдите значение функции при x = 4. Требуется найти результат для указанного аргумента, поэтому используем формулу как правило вычисления. Сначала заменяем x числом 4, затем выполняем действия по порядку.

1. Подставим 4 вместо x: f(4) = 3 · 4 − 2.
2. Выполним умножение: 3 · 4 = 12.
3. Вычтем 2: 12 − 2 = 10.

Ответ: значение функции при x = 4 равно 10. Проверка проста: найденное число получается именно после подстановки аргумента в заданное правило.

Задача 2. Для функции y = 5/(x − 2) укажите область определения. Здесь нужно не вычислить значение функции, а определить, при каких x формула имеет смысл. Единственное ограничение связано со знаменателем: деление на ноль не определено.

1. Запишем знаменатель: x − 2.
2. Найдём запрещённое значение, при котором знаменатель обращается в ноль: x − 2 = 0, значит x = 2.
3. Исключим 2, а все остальные значения оставим допустимыми.

Ответ: область определения — все числа, кроме 2. Такой вывод следует из формулы; если бы условие задачи дополнительно ограничивало x, пришлось бы учесть и это ограничение.

Задача 3. По таблице пар значений нужно определить, задаёт ли соответствие функцию, и назвать область определения и множество полученных значений. В самой таблице каждая пара записывается как аргумент и соответствующий ему результат. Для проверки сначала смотрим на повторяющиеся аргументы, а затем отдельно выписываем входы и выходы.

1. Проверим все значения аргумента: если один и тот же x встречается несколько раз, сравним результаты рядом с ним.
2. Если у повторяющегося x результаты разные, соответствие не является функцией; если каждому x отвечает один результат, условие функции выполнено.
3. Выпишем уникальные значения из столбца аргументов — это область определения. Затем отдельно выпишем уникальные результаты — это множество полученных значений.

Ответ: соответствие является функцией тогда и только тогда, когда одинаковому аргументу не поставлены в соответствие разные результаты. Область определения и множество полученных значений перечисляют отдельно, не смешивая входы и выходы.

Типичные ошибки

Ошибка — считать функцией соответствие, в котором одному аргументу отвечают разные значения. Её допускают, если проверяют только наличие пар, но забывают условие единственности. Проверьте каждый повторяющийся x: при разных результатах правило не задаёт функцию.

Не путайте аргумент x со значением функции f(x). x подставляют в правило, а f(x) получают после вычисления; путаница часто возникает из-за того, что обе величины записаны буквами. Для самопроверки спросите себя: какое число было дано, а какое получилось после применения правила?

Область определения — не то же самое, что область значений. Их смешивают, потому что оба множества состоят из чисел, но первое отвечает на вопрос о допустимых аргументах, а второе — о возможных результатах. Сверьте, откуда вы выписываете числа: из входов или из выходов.

Нельзя находить область определения только по условию задачи, не проверив формулу. Например, можно забыть, что знаменатель дроби не должен обращаться в ноль. Перепроверьте каждый элемент формулы на запретные действия, а затем объедините эти ограничения с условиями задачи.

Связь с другими темами

Для работы с функциями пригодится умение подставлять числа вместо букв и вычислять значения буквенных выражений. Это позволяет находить f(x), когда известны правило и аргумент. Представление о зависимости величин, знакомое по арифметике и естественным наукам, помогает увидеть, какую ситуацию описывает функция. Дальше это понятие понадобится при изучении графиков, линейных и других функций, а также при решении задач о зависимостях величин.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — f(x) или y.
• Область определения — множество допустимых значений аргумента.
• Область значений — множество значений, которые принимает функция.
• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесным правилом.
• При поиске области определения учитывают ограничения и задачи, и формулы.