"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Многочлен состоит из одночленов, например 3x² − 2x + 5. Чтобы сложить или вычесть многочлены, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые — одночлены с одинаковой буквенной частью. При сложении знаки слагаемых не меняются, а при вычитании каждый знак вычитаемого многочлена становится противоположным. Эти правила помогают упрощать выражения, преобразовывать формулы и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — сумма одночленов, каждый из которых записан в стандартном виде. Одночлен — число, переменная или произведение чисел и переменных, например 4x² или −3ab. Многочлен удобно рассматривать как набор таких слагаемых: тогда можно собирать вместе те из них, которые имеют одинаковую буквенную часть.
Сумма многочленов — результат их сложения после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Например, при сложении 2x + 1 и x − 3 получится 3x − 2. Такое преобразование помогает записать длинное выражение короче и понятнее.
Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. Вычитаемый многочлен нужно воспринимать целиком: знак минус перед ним меняет знаки всех его слагаемых. Это определение подсказывает, как правильно раскрыть скобки при вычитании.
Подобные слагаемые многочлена — одночлены с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями степеней переменных. Например, 3x² и −5x² подобны, а 3x² и 3x — нет. Понятие нужно, чтобы определить, какие слагаемые можно объединить, а какие должны остаться в выражении отдельно.
Сложение многочленов сводится к объединению слагаемых из обоих выражений, потому что сложение не меняет сами слагаемые, а лишь собирает их в одну сумму. После этого ищут подобные одночлены и приводят их. Например, в сумме 2x² + 3x и x² − x можно вместе рассмотреть члены с x² и отдельно — члены с x.
При сложении перед первой скобкой фактически стоит знак плюс: мы прибавляем все выражение, заключённое в скобки. Плюс не меняет ни одно слагаемое, поэтому скобки можно убрать, сохранив знаки внутри. Так, (x² − 2x) + (3x² + x) превращается в x² − 2x + 3x² + x.
При вычитании знаки меняются потому, что вычитание заменяется сложением противоположного многочлена. Противоположный многочлен имеет те же слагаемые, но с обратными знаками: например, противоположный для 2x² + x − 4 — это −2x² − x + 4. Если изменить знак только у одного члена, получится уже другое выражение.
Чтобы выполнить вычитание, сначала запишите уменьшаемый и вычитаемый многочлены в скобках, а перед второй скобкой поставьте минус. Затем раскройте эту скобку, поменяв знак каждого слагаемого, и приведите подобные. Скобки помогают увидеть, к какому многочлену относится знак минус, и не пропустить ни один его член.
При приведении подобных слагаемых складывают или вычитают их коэффициенты — числовые множители, стоящие перед буквенной частью. Буквенная часть остаётся неизменной: 3x² − 5x² = −2x², потому что складываются числа 3 и −5. Нельзя объединить x² и x: у них разные степени, значит, они обозначают неподобные слагаемые.
| Действие | Как раскрыть скобки | Что сделать после раскрытия |
|---|---|---|
| Сложение многочленов | Убрать скобки, сохранить знаки слагаемых | Объединить подобные слагаемые |
| Вычитание многочленов | У вычитаемого изменить знаки всех слагаемых | Объединить подобные слагаемые |
| Приведение подобных слагаемых | Сгруппировать слагаемые с одинаковой буквенной частью | Сложить или вычесть коэффициенты, буквенную часть оставить |
Пользуйтесь таблицей как коротким алгоритмом: сначала определите действие и правильно раскройте скобки. Затем сгруппируйте подобные слагаемые и проверьте, что не объединили члены с разными буквенными частями или степенями.
Задача 1. Найдите сумму многочленов 3x² − 2x + 5 и x² + 4x − 1. Нужно сложить все слагаемые, а затем собрать вместе члены с одинаковыми степенями x. Так мы не смешаем квадратичные члены, члены с x и числа.
Ответ: 4x² + 2x + 4.
Задача 2. Вычтите из 5a² − 3a + 2 многочлен 2a² + a − 4. Минус относится ко всему вычитаемому выражению, поэтому сначала важно изменить знак каждого его слагаемого. После этого можно сгруппировать члены с a², с a и числа.
Ответ: 3a² − 4a + 6.
Задача 3. Упростите выражение (2x² − 3x + 1) − (x² + 2x − 4) + (3x² − x + 2). Здесь три многочлена, а перед скобками стоят разные знаки. Поэтому сначала раскрываем скобки, учитывая каждый знак, и только потом собираем члены по степеням x.
Ответ: 4x² − 6x + 7.
Иногда при вычитании меняют знак только у первого слагаемого в скобках, потому что минус ошибочно воспринимают как относящийся лишь к ближайшему члену. На самом деле он стоит перед целым многочленом. Чтобы проверить себя, раскройте скобки по одному слагаемому и убедитесь, что обратный знак получил каждый член.
Другая ошибка — убрать скобки после минуса, но оставить прежние знаки. Так теряется смысл вычитания противоположного многочлена, и результат становится неверным. Проверяйте каждый знак отдельно: плюс превращается в минус, а минус — в плюс.
Коэффициенты иногда складывают у неподобных слагаемых, например пытаются объединить x² и x. Это происходит, если смотреть только на числовые множители и не учитывать буквенную часть. Перед вычислением сгруппируйте члены по буквам и показателям степеней: x², x и свободные числа должны оказаться в разных группах.
При приведении подобных слагаемых можно по ошибке изменить буквенную часть или показатель степени, например заменить 2x² + 3x² на 5x⁴. Складывать нужно только коэффициенты, поскольку буквенная часть в подобных слагаемых уже совпадает. Самопроверка проста: перепишите общую буквенную часть без изменений, а отдельно посчитайте числовые множители.
Для работы с многочленами понадобятся знания о стандартном виде одночлена, действиях с одночленами и подобных слагаемых. Эти темы помогают распознать, какие члены выражения можно объединить. Сложение и вычитание многочленов применяются при упрощении выражений, раскрытии скобок, преобразовании формул и решении уравнений. Поэтому аккуратная работа со знаками нужна и во многих следующих темах алгебры.
Почему при вычитании многочлена меняются знаки всех слагаемых?
Вычесть многочлен — значит прибавить противоположный ему. Противоположный многочлен получается, когда знак каждого его слагаемого меняется на обратный.
Как раскрыть скобки, если перед ними стоит знак плюс?
Знаки всех слагаемых внутри скобок остаются прежними. Знак плюс перед скобками означает, что мы прибавляем весь многочлен.
Какие слагаемые называются подобными?
Подобные слагаемые — это одночлены с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями степеней переменных. Например, 3x² и −5x² подобны, а x² и x — нет.
Можно ли складывать слагаемые с разными степенями переменной?
Нет, слагаемые с разными степенями переменной нельзя объединить в одно. Например, x² и x остаются в выражении отдельными слагаемыми.
Как проверить правильность сложения или вычитания многочленов?
Проверьте, что перед скобками с минусом изменены знаки всех слагаемых, а подобные слагаемые собраны правильно. Для дополнительной проверки можно подставить одно и то же число вместо переменной в исходное и полученное выражения: значения должны совпасть.
§21. Сложение и вычитание многочленов
