§ 17. Сложение и вычитание одночленов

Определения и обозначения

Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью. Это означает, что в них совпадают все буквы и показатели каждой буквы: например, 3x²y и −5x²y подобны, а 3xy и 3x²y — нет. Такое понятие нужно, чтобы определить, какие слагаемые можно объединить при упрощении выражения.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В одночлене 4ab коэффициент равен 4, а если число явно не написано, как в x, подразумевается коэффициент 1. В одночлене −x коэффициент равен −1, потому что знак минус относится к невидимой единице; это нужно учитывать при вычислениях.

Сложение и вычитание подобных одночленов — действия, при которых складывают или вычитают коэффициенты, сохраняя буквенную часть. Например, при сложении 2a и 6a получится 8a: буква a не меняется. Это правило позволяет заменять несколько однотипных слагаемых более короткой записью.

Приведение подобных одночленов — замена суммы или разности подобных одночленов одним одночленом. Например, выражение 3x + 2x можно заменить на 5x. Понятие пригодится, когда в выражении много слагаемых и нужно упростить его, не меняя значения.

Как это устроено

Объединять можно только слагаемые с одинаковой буквенной частью, потому что они выражают кратные одной и той же величины. Например, 3a и 5a — это три и пять одинаковых частей a, поэтому вместе они дают восемь таких частей. А слагаемые a и b обозначают разные величины: нельзя посчитать их как одинаковые части, даже если обе буквы записаны в одном выражении.

Правило сложения становится понятным, если вынести общую буквенную часть за скобки. В выражении 3a + 5a буква a встречается в каждом слагаемом, поэтому можно записать a · 3 + a · 5 = a(3 + 5) = 8a. Получается, что мы складываем числовые коэффициенты, а общую буквенную часть записываем один раз. По той же причине 2x²y + 4x²y = 6x²y.

При вычитании важно помнить, что вычесть число — значит прибавить противоположное ему число. Поэтому 7x²y − 10x²y можно записать как 7x²y + (−10x²y), а затем сложить коэффициенты: 7 + (−10) = −3. Буквенная часть x²y остаётся общей. Такой способ помогает не потерять минус и верно получить отрицательный результат.

Если буквенные части различаются, коэффициенты нельзя соединить в один коэффициент с общей буквенной частью. Например, 4ab и 3a нельзя превратить в 7ab или 7a: в первом слагаемом есть множитель b, а во втором его нет. Такие одночлены допустимо записать рядом в одном выражении, но они остаются отдельными слагаемыми. Сначала проверяй не только буквы, но и показатели каждой из них.

Чтобы привести несколько одночленов, найди слагаемые с одинаковыми буквенными частями и собери их в группы. Затем сложи коэффициенты в каждой группе с учётом знаков и запиши буквенную часть группы один раз. Слагаемые без подходящей пары тоже остаются в ответе; число без букв можно считать отдельным видом слагаемого. Такой порядок уменьшает риск сложить то, что объединять нельзя.

Сложение и вычитание одночленов

В таблице показано, какие действия выполнять с коэффициентами и что происходит с буквенной частью. Сначала найди строку, подходящую к твоему выражению, а затем проверь, совпадают ли буквенные части. В последней строке правило применяется отдельно к каждой группе подобных слагаемых.

Разбор задач

Упростите выражение 3a + 5a.

В обоих слагаемых записана одна и та же буква a, значит, они подобные. Их можно объединить, сложив числовые множители. Буква показывает общую величину, поэтому после вычисления коэффициентов её нужно оставить в ответе.

1. Определяем коэффициенты: у 3a это 3, у 5a — 5.
2. Складываем их: 3 + 5 = 8.
3. Записываем буквенную часть один раз: 8a.

Ответ: 8a.

Упростите выражение 7x²y − 10x²y.

Буквенные части совпадают полностью: в каждом одночлене есть x²y. Значит, можно вычесть коэффициенты, сохраняя эту часть. Второй коэффициент больше первого, поэтому результат будет отрицательным; знак минус нельзя отбросить.

1. Находим коэффициенты: 7 и 10.
2. Вычитаем коэффициент второго одночлена из первого: 7 − 10 = −3.
3. Приписываем общую буквенную часть: −3x²y.

Ответ: −3x²y.

Упростите выражение 4ab − 3a + 2ab + 5a − 6.

Здесь есть две группы подобных одночленов: с буквенной частью ab и с буквенной частью a. Их нельзя смешивать, потому что наличие буквы b меняет буквенную часть. Число −6 букв не содержит, поэтому его оставляем отдельным слагаемым.

1. Собираем группы: (4ab + 2ab) + (−3a + 5a) − 6.
2. В первой группе складываем коэффициенты: 4 + 2 = 6, получаем 6ab.
3. Во второй группе учитываем знак минус: −3 + 5 = 2, получаем 2a.
4. Записываем результат вместе с несгруппированным числом: 6ab + 2a − 6.

Ответ: 6ab + 2a − 6.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать коэффициенты у одночленов, у которых совпадает только одна буква. Например, 2ab и 3a не дают 5ab, потому что буквенные части целиком разные. Так делают, проверяя только наличие буквы a; для самопроверки сравни все буквы и показатели, прежде чем объединять слагаемые.

Ошибка: при вычитании менять буквенную часть или вычитать сами буквы. В выражении 8x − 3x вычитают коэффициенты, а не x; результатом будет 5x. Путаница возникает, когда буквы воспринимают как обычные числа; проверь, что общая буквенная часть сохранилась в ответе без изменений.

Ошибка: потерять минус перед вычитаемым одночленом. Например, при раскрытии скобок в 5a − (2a − 3) знак перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри: получается 5a − 2a + 3. Минус пропускают, если воспринимают скобки как простое дополнение; проверяй каждый знак внутри скобок отдельно.

Ошибка: неверно сложить коэффициенты с разными знаками или забыть, что у −x коэффициент −1. Тогда может измениться знак всего ответа. Например, −x + 4x — это −1x + 4x, значит, коэффициент равен −1 + 4 = 3. Чтобы проверить себя, выпиши коэффициенты явно и выполни действие с целыми числами, учитывая их знаки.

Связь с другими темами

Для работы с подобными одночленами нужно знать, что такое одночлен, коэффициент и буквенная часть. Также важно уметь складывать и вычитать целые числа, в том числе отрицательные. Эти знания помогают выполнить преобразование без ошибок в знаках и показателях.

Приведение подобных одночленов используется при упрощении многочленов — выражений из нескольких одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Оно помогает собрать одинаковые буквенные части и сделать запись короче. То же умение нужно при раскрытии скобок, когда появляются дополнительные слагаемые.

Навык пригодится при преобразовании выражений перед решением уравнений и задач. Более простую запись обычно легче сравнивать с другими выражениями и использовать в вычислениях. Поэтому перед следующим шагом полезно проверить, все ли подобные слагаемые уже приведены.

Что запомнить

• Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть.
• При сложении подобных одночленов складывают их коэффициенты.
• При вычитании подобных одночленов вычитают их коэффициенты.
• Буквенную часть подобных слагаемых в результате записывают один раз.
• Одночлены с разными буквенными частями не приводят друг к другу.
• Перед приведением нескольких слагаемых удобно сгруппировать подобные.