§ 16. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

Определения и обозначения

Одночлен — произведение числового множителя и буквенных множителей, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, 5a²b и −3xy³ — одночлены. Число тоже подходит: его можно рассматривать как произведение, в котором нет букв, а произведение нескольких одночленов снова имеет такой вид.

Стандартный вид одночлена — запись, где числовые множители уже перемножены, а одинаковые буквы объединены в степени. Например, вместо 2a · 3a · b пишут 6a²b. Такая запись помогает быстрее находить характеристики выражения и выполнять дальнейшие действия.

Коэффициент одночлена — числовой множитель в его стандартном виде. У одночлена −4a²b коэффициент равен −4, а у a²b он равен 1, хотя единица не написана. Коэффициент показывает числовую часть выражения, поэтому важно учитывать и его знак.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех букв в стандартном виде. У 3x²y³ степень равна 2 + 3 = 5, а у ненулевого числа, в котором букв нет, степень равна 0. Степень описывает буквенную часть и не включает коэффициент.

Как это устроено

Чтобы распознать одночлен, посмотри, как соединены части выражения: они должны перемножаться. Поэтому 5a²b — одночлен: число 5 умножается на степени букв a и b. Выражение 5a² + b одночленом не является, потому что знак плюс разделяет его на два слагаемых, а не соединяет множители.

При приведении к стандартному виду отдельно перемножают числа и собирают одинаковые буквы. Это работает потому, что повторное умножение одной и той же буквы записывается степенью: a · a = a², а b · b · b = b³. Например, в произведении 2a · 3a · b числа дают 6, две буквы a дают a², поэтому результат — 6a²b.

Множители можно переставлять местами, не меняя их произведение: это свойство умножения. Поэтому сначала удобно собрать числовую часть, а затем расположить буквы в выбранном порядке, например сначала a, потом b, потом c. Одинаковые буквы при этом группируют вместе, чтобы сразу видеть их общую степень и получить стандартную запись.

Коэффициент находят после того, как одночлен приведён к стандартному виду: это число перед буквенной частью. Если число не написано, подразумевается умножение на 1, поэтому у xy коэффициент 1. Если перед буквами стоит только минус, подразумевается −1, как в −ab; при вычислениях знак нельзя отделять от числа.

Для нахождения степени нужно сложить показатели каждой буквы, потому что общее число буквенных множителей складывается при объединении степеней. У 4x³y²z степень равна 3 + 2 + 1 = 6, так как z можно записать как z¹. Число 4 в эту сумму не входит: это коэффициент, а степень характеризует буквенную часть. Не путай эти две характеристики, даже если коэффициент больше показателей букв.

Признаки и характеристики одночлена

Пользуйся таблицей по порядку: сначала установи, является ли выражение одночленом, а затем приведи его к стандартному виду. После этого легко определить коэффициент и степень. Проверяй знак коэффициента отдельно от подсчёта степени.

Разбор задач

Задача 1. Определите, является ли выражение 5a²b одночленом, а выражение 5a² + b — одночленом. Сначала проверим, какие действия соединяют части каждого выражения. Для этого достаточно отличить произведение множителей от суммы слагаемых.

1. В выражении 5a²b число 5 умножается на a² и b. Значит, это произведение числового и буквенных множителей.
2. В выражении 5a² + b стоит знак плюс, который разделяет выражение на слагаемые. Поэтому всё выражение не является одночленом.

Ответ: 5a²b — одночлен; 5a² + b — не одночлен.

Задача 2. Приведите к стандартному виду выражение −3a · 2a²b · (−b). Удобно сначала вычислить числовую часть, а затем разобрать буквенную. Следи за знаками: произведение двух отрицательных чисел положительное.

1. Перемножим числа: (−3) · 2 · (−1) = 6. Значит, коэффициент результата будет 6.
2. Соберём одинаковые буквы: a · a² = a³, поскольку 1 + 2 = 3. Для букв b получаем b · b = b².
3. Запишем коэффициент и буквенную часть вместе: 6a³b². Числа перемножены, а одинаковые буквы объединены в степени.

Ответ: 6a³b².

Задача 3. Для одночлена 4x³y²z определите коэффициент и степень; затем составьте одночлен третьей степени с коэффициентом −2. Сначала отдельно найдём числовую часть и сложим показатели букв. Во второй части можно выбрать буквы так, чтобы сумма показателей равнялась 3.

1. Коэффициент уже записан перед буквами: он равен 4. Показатель у z не указан, значит, z = z¹.
2. Сложим показатели: 3 + 2 + 1 = 6. Степень одночлена 4x³y²z равна 6, коэффициент в сумму не входит.
3. Для степени 3 и коэффициента −2 подойдёт −2a²b. Показатели 2 и 1 дают сумму 3, а число перед буквами задаёт нужный коэффициент.

Ответ: коэффициент 4, степень 6; пример одночлена третьей степени с коэффициентом −2 — −2a²b.

Типичные ошибки

Некоторые считают сумму одночленов одним одночленом, потому что каждое слагаемое отдельно подходит под определение. Но одночлен должен быть произведением, а плюс или минус разделяет выражение на слагаемые. Проверь, какое действие связывает части: в 2a · b это умножение, а в 2a + b — сложение.

В стандартном виде иногда оставляют одинаковые буквы отдельными множителями, например записывают a · a · b вместо a²b. Так делают, если забывают, что степень заменяет повторное умножение одной буквы на себя. Для проверки посчитай, сколько раз встречается каждая буква, и запиши это число показателем.

При умножении чисел легко потерять минус или неверно определить знак произведения. Особенно внимательно проверяй, сколько отрицательных множителей: чётное их число даёт положительный результат, нечётное — отрицательный. После вычисления числовой части отдельно проверь знак коэффициента в ответе.

Ещё одна ошибка — считать степенью наибольший показатель или включать в неё коэффициент. Степень одночлена находят сложением показателей всех букв, а число перед ними не учитывают. Перепиши неуказанные показатели как единицы и проверь сумму, например для x²y³z получи 2 + 3 + 1 = 6.

Связь с другими темами

Для работы с одночленами понадобятся умножение целых чисел, свойства умножения и понимание степени с натуральным показателем. Эти знания позволяют аккуратно перемножать коэффициенты и заменять повторяющиеся буквы степенями. Если уверенно приводить выражение к стандартному виду, проще будет умножать и делить одночлены, а также работать с многочленами. Одночлены часто выступают частями более сложных алгебраических выражений.

Что запомнить

• Одночлен — это произведение, а не сумма.
• В стандартном виде числовые множители перемножены.
• Одинаковые буквенные множители объединяют в степени.
• Коэффициент — числовая часть одночлена.
• Степень одночлена равна сумме показателей всех букв.
• Если числовой множитель не указан, коэффициент равен 1; если перед буквенной частью стоит минус — −1.