§ 16. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение числового множителя и степеней переменных с неотрицательными целыми показателями. Например, 3x²y и −5ab³ — одночлены, а x + y — нет, потому что это сумма. Такое определение помогает отличить одночлен от других алгебраических выражений.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. Если число не написано, коэффициент равен 1, а если перед выражением стоит знак минус без числа, коэффициент равен −1; коэффициент 0 превращает выражение в нуль. Знание коэффициента позволяет отдельно работать с числовой частью одночлена.

Стандартный вид одночлена — запись, в которой сначала указан числовой коэффициент, а затем степени различных переменных, каждая переменная записана один раз. Например, 6a²b — стандартный вид, а a · 2b · a — нет. Такая запись упрощает чтение и сравнение одночленов.

Степень одночлена в стандартном виде — сумма показателей степеней всех переменных. Например, степень 4x²y³ равна 2 + 3 = 5. Она показывает общее количество переменных-множителей, если раскрыть степени, и помогает классифицировать одночлены.

Как это устроено

Запись 3 · x · x · y можно сократить, заметив, что переменная x повторяется дважды. Произведение x · x заменяется степенью x², поэтому получается 3x²y. Это выражение является одночленом: в нём перемножены число и степени переменных, а сложения или деления на переменную нет.

В стандартной записи одинаковые переменные объединяют, потому что их произведение можно представить одной степенью. Например, a · a² = a³: всего в произведении три множителя a. Числа тоже перемножают, чтобы у выражения оставался один числовой множитель; так запись становится короче и удобнее для вычислений.

Чтобы найти коэффициент, нужно перемножить все числа, стоящие в произведении, и учесть знак результата. Например, в 4a · (−2a²) · b числа 4 и −2 дают −8, значит, коэффициент равен −8. Если числовой множитель не виден, подразумевается 1: поэтому у x² коэффициент 1, а у −x² — −1.

Степень находят по показателям переменных, а коэффициент при подсчёте не учитывают. У одночлена −3x²y⁴z показатели равны 2, 4 и 1, поэтому степень равна 2 + 4 + 1 = 7. Число −3 не является переменной и не добавляется к сумме.

Одночлен может не содержать переменных: тогда он является числом, например 8 или −2. Ненулевое число можно считать одночленом нулевой степени, поскольку переменных показателей в нём нет. Если же числовой коэффициент равен нулю, произведение равно нулю при любых значениях переменных.

Одночлен и его стандартный вид

Сначала проверьте, является ли выражение произведением, а затем приведите его к стандартному виду. По готовой записи проще увидеть коэффициент и сложить показатели для нахождения степени.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какие из выражений 5x²y, 2x + y, −7 и a³b являются одночленами. Проверим строение каждого выражения: одночлен должен быть произведением числа и степеней переменных. Наличие переменных не обязательно, но сложение двух слагаемых условию не соответствует.

1. 5x²y — произведение числа 5 и степеней переменных x и y, поэтому это одночлен.
2. 2x + y — сумма двух слагаемых, поэтому это не одночлен.
3. −7 — число без переменных, значит, это одночлен.
4. a³b — произведение степеней переменных, числовой коэффициент здесь равен 1, значит, это одночлен.

Ответ: одночлены — 5x²y, −7 и a³b; выражение 2x + y не является одночленом. Проверка строения помогает не перепутать произведение с суммой.

Задача 2. Привести 4a · (−2a²) · b к стандартному виду и указать коэффициент. В произведении есть числовые множители 4 и −2, а переменная a встречается отдельно и в квадрате. Поэтому числа перемножаем, а показатели одинаковой переменной складываем.

1. Перемножаем числовые множители: 4 · (−2) = −8.
2. Объединяем множители a: a · a² = a³, поскольку 1 + 2 = 3.
3. Переменную b записываем отдельно: получаем −8a³b.

Ответ: стандартный вид — −8a³b, коэффициент равен −8. Знак минус сохраняется, так как произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.

Задача 3. Для одночлена −3x²y⁴z определить коэффициент и степень; затем составить одночлен степени 6 с коэффициентом 2, используя a и b. Здесь важно отдельно прочитать числовой множитель и показатели переменных. Во второй части требуется подобрать показатели так, чтобы их сумма была равна 6.

1. Коэффициент одночлена −3x²y⁴z равен −3.
2. Складываем показатели переменных: 2 + 4 + 1 = 7. Значит, степень одночлена равна 7.
3. Для второго одночлена берём коэффициент 2 и выбираем показатели a⁴ и b²: их сумма равна 4 + 2 = 6.

Ответ: коэффициент равен −3, степень равна 7; пример одночлена степени 6 с коэффициентом 2 — 2a⁴b². Возможны и другие варианты показателей, если их сумма равна 6.

Типичные ошибки

Иногда сумму x + y принимают за одночлен, потому что в выражении есть только переменные. Но одночлен — произведение, а знак плюс разделяет слагаемые. Проверьте, есть ли между частями сложение или вычитание: если есть, всё выражение не является одним одночленом.

При приведении к стандартному виду можно оставить x · x² без изменений. Это происходит, если забыть правило умножения степеней с одинаковым основанием: показатели нужно сложить. Для проверки посчитайте множители x: их три, значит, запись должна быть x³.

Ещё одна ошибка — включать коэффициент в степень: например, складывать число 3 и показатель 2 у выражения 3x². Коэффициент не является показателем переменной, поэтому степень здесь равна только 2. Проверьте, складываете ли вы исключительно числа, записанные у переменных сверху.

Не следует дописывать коэффициент 1 в x² или терять минус в −x². Отсутствие числа означает коэффициент 1, а знак минус перед переменной означает −1. Чтобы проверить ответ, мысленно поставьте числовой множитель: x² = 1 · x², а −x² = (−1) · x².

Связь с другими темами

Для работы с одночленами нужны навыки умножения чисел и переменных, а также понимание показателя степени. В частности, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают — это позволяет получать стандартную запись. Далее одночлены понадобятся при умножении друг на друга и при работе с многочленами. Эти умения помогают упрощать более сложные алгебраические выражения.

Что запомнить

• Одночлен — произведение числового множителя и степеней переменных.
• Сумма нескольких слагаемых не является одночленом.
• В стандартном виде каждая переменная записана в одной степени.
• Коэффициент — числовой множитель одночлена.
• Степень одночлена равна сумме показателей переменных.
• Число без переменных — одночлен.