§ 15. Степень с нулевым показателем

Определения и обозначения

Показатель степени — число, которое указывает, сколько раз основание входит множителем. Например, в записи 3² показатель равен 2, а здесь мы разбираем случай, когда показатель равен нулю. Это помогает отличать нулевой показатель от нулевого основания: это разные части записи.

Основание степени — число, которое возводят в степень. В записи a⁰ основание обозначено буквой a, и для этого правила оно должно быть ненулевым. Проверка основания нужна, чтобы понять, можно ли применять правило и существует ли значение выражения.

Степень с нулевым показателем — степень ненулевого числа, равная единице: a⁰ = 1 при a ≠ 0. Например, 5⁰ = 1, потому что основание 5 не равно нулю. Это правило позволяет заменять такую степень единицей при упрощении выражений.

Нулевая степень нуля не определена: выражение 0⁰ правило a⁰ = 1 не делает равным единице. В такой записи основание равно нулю, поэтому условие a ≠ 0 нарушено. Это уточнение нужно, чтобы не применять правило ко всем основаниям без проверки.

Как это устроено

Правило можно вывести из свойства деления степеней с одинаковыми основаниями: при делении показатели вычитаются. Если a ≠ 0, то aⁿ : aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰. С другой стороны, ненулевое число, делённое само на себя, равно единице, поэтому a⁰ = 1. Этот вывод объясняет, откуда берётся значение нулевой степени, а не просто предлагает запомнить его.

Условие a ≠ 0 необходимо уже в первой части рассуждения. В дроби aⁿ : aⁿ знаменатель не должен быть нулём, а при a = 0 делить на ноль нельзя. Поэтому доказательство не работает для основания 0 и не задаёт значения выражению 0⁰. Нельзя просто подставить ноль в правило, забыв, при каком условии оно выведено.

Основанием может быть как положительное, так и отрицательное ненулевое число. Например, 6⁰ = 1, и (-6)⁰ = 1: в обоих случаях основание не равно нулю, поэтому действует одно правило. Знак «минус» сам по себе не меняет результат нулевой степени. Важно лишь не потерять этот знак, когда определяешь основание.

Чтобы вычислить выражение, сначала найди основание степени, обращая внимание на скобки, и только потом применяй правило. В записи (-3)⁰ основание — всё число -3, а в записи (x + 2)⁰ основанием является выражение x + 2. Если скобки охватывают несколько частей, нулевой показатель относится ко всему выражению в них. Такой порядок помогает не возвести в степень только часть основания.

Правило относится именно к степени с нулевым показателем и ненулевым основанием. Оно не означает, что любое выражение, в котором встречается ноль, равно единице: например, 0 + 5 = 5, а не 1. Также нельзя считать равным единице выражение с основанием, равным нулю. Сначала проверь вид степени и значение основания, затем решай, применимо ли правило.

Степень с нулевым показателем

В таблице собраны общее правило и три примера. В строке с буквенным основанием указано условие, при котором правило разрешено применять. Сравнивая примеры, следи не только за показателем, но и за основанием.

Разбор задач

Вычислите 7⁰ и (-4)⁰

В обоих выражениях показатель равен нулю, но перед применением правила проверим основания. Основания 7 и -4 — ненулевые числа. Значит, для каждой степени можно использовать a⁰ = 1.

1. В выражении 7⁰ основание равно 7, поэтому 7⁰ = 1.
2. В выражении (-4)⁰ основание равно -4, поэтому (-4)⁰ = 1.
3. Скобки показывают, что отрицательное число -4 целиком является основанием.

Ответ: 7⁰ = 1, (-4)⁰ = 1. Отрицательное основание не мешает применить правило, если оно не равно нулю. Проверка основания здесь нужна, чтобы убедиться, что исключения нет.

Упростите выражение 3x⁰ + (-2)⁰ при x ≠ 0

Здесь есть две степени с нулевым показателем, но коэффициент 3 перед x⁰ не входит в степень. Условие x ≠ 0 сразу подтверждает, что основание первой степени ненулевое; основание второй степени равно -2 и тоже не равно нулю. Заменим обе степени единицами, сохранив знаки и коэффициенты.

1. Так как x ≠ 0, x⁰ = 1, поэтому 3x⁰ = 3 · 1 = 3.
2. Основание -2 ненулевое, значит, (-2)⁰ = 1.
3. Складываем полученные значения: 3 + 1 = 4.

Ответ: 4. Коэффициент 3 остался на месте, потому что он умножает степень, а не входит в её основание. Если бы основание равнялось нулю, правило нельзя было бы применить.

Найдите значение выражения (2a - 1)⁰ при a = 0 и при a = ½

Основание степени заключено в скобки, поэтому сначала подставим каждое значение a и вычислим всё выражение 2a - 1. После этого проверим, равно ли основание нулю. Только для ненулевого основания результат степени равен единице.

1. При a = 0 основание равно 2 · 0 - 1 = -1. Оно ненулевое, поэтому (-1)⁰ = 1.
2. При a = ½ основание равно 2 · ½ - 1 = 1 - 1 = 0.
3. Тогда получается 0⁰, а это выражение не определено.

Ответ: при a = 0 значение равно 1; при a = ½ выражение не определено. Одинаковый показатель не гарантирует одинаковую возможность вычисления: нужно проверить основание после подстановки. Во втором случае оно обращается в ноль.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что 0⁰ = 1. Так бывает, если запомнить короткое правило, но забыть его условие. Проверь себя: в записи 0⁰ основание равно нулю, а правило действует только при ненулевом основании. Поэтому значение 0⁰ не определено.

Ошибка: читать (2x)⁰ как 2x⁰ и возводить в степень только переменную. Скобки показывают, что основание — всё выражение 2x, а не только x. Чтобы проверить себя, мысленно назови основание перед показателем. Если скобки охватывают несколько частей, степень относится ко всему выражению внутри них.

Ошибка: считать, что (-5)⁰ = -1. Минус иногда ошибочно переносят на результат, хотя при нулевом показателе ненулевое основание даёт 1. Проверь, что основание в скобках равно -5 и не равно нулю. Тогда (-5)⁰ = 1, а не -1.

Ошибка: полагать, что любое выражение с нулевым показателем равно единице, не проверяя основание. Так пропускают случай, когда основание после подстановки становится нулём. Перед вычислением найди основание и вычисли его, если оно содержит переменную. Если получилось 0, степень с нулевым показателем не определена.

Связь с другими темами

Для понимания правила нужны знания о том, что такое основание и показатель степени. Также пригодится правило деления степеней с одинаковыми основаниями: при делении показатели вычитаются. Именно с его помощью можно объяснить, почему нулевая степень ненулевого числа равна единице. Условие ненулевого основания следует из того, что делить на ноль нельзя.

Правило используют при упрощении выражений, содержащих степени. Оно также входит в систему свойств степеней с целыми показателями, поэтому важно точно определять основание и проверять условие применимости. Например, если основание зависит от переменной, сначала учитывают её значение, а затем заменяют степень единицей или отмечают, что она не определена.

Что запомнить

• Для любого a ≠ 0: a⁰ = 1.
• Основание степени с нулевым показателем должно быть ненулевым.
• 0⁰ не определено.
• Положительное или отрицательное ненулевое основание в нулевой степени даёт 1.
• Перед применением правила проверь, какое выражение является основанием.