§ 19. Степень с нулевым показателем

Определения и обозначения

Нулевой степенью числа a называют выражение a⁰, где основание a не равно нулю; его значение равно 1. Например, 5⁰ = 1, а (−3)⁰ = 1. Это определение позволяет записывать степени с любым показателем, в том числе нулевым, и применять общие правила вычислений. Условие a ≠ 0 — обязательная часть правила, а не необязательная оговорка.

Основание степени — число, которое возводят в степень. В записи a⁰ основанием служит a, то есть именно это число проверяют на ненулевое значение. Основание может быть положительным, отрицательным или дробным. Понимание этой роли помогает не спутать, какое число должно быть ненулевым, и верно применять правило.

Показатель степени — число, записанное справа вверху от основания; здесь это 0. Нулевой показатель указывает, что значение степени равно 1, если основание ненулевое. Сам показатель не становится значением выражения: например, 7⁰ равно 1, а не 0. Это различие помогает избежать ошибки при чтении записи.

Как это устроено

Правило a⁰ = 1 можно получить из деления степеней с одинаковым основанием. Если m — натуральное число, то aᵐ : aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰ по правилу вычитания показателей. С другой стороны, при a ≠ 0 число aᵐ делится само на себя и даёт 1. Значит, запись a⁰ должна обозначать именно 1, чтобы правило деления оставалось верным.

К тому же результат подсказывает последовательность степеней одного числа. Возьмём основание 2: 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. При каждом уменьшении показателя на единицу значение делится на основание, поэтому после 2¹ получаем 2 : 2 = 1, то есть 2⁰ = 1. Такая закономерность помогает понять, почему нулевая степень согласуется с уже знакомыми степенями.

Условие a ≠ 0 нужно потому, что обоснование связано с делением на основание. Если основание равно нулю, шаг к следующей степени потребовал бы делить на 0, а деление на ноль не определено. Нельзя использовать этот переход, чтобы получить значение степени с нулевым основанием. Поэтому правило устанавливает значение a⁰ только для ненулевых a.

Знак и вид ненулевого основания не меняют результат нулевой степени. Положительное число, например 5, даёт 5⁰ = 1; отрицательное число в скобках даёт (−3)⁰ = 1. У дроби (2/7)⁰ результат также равен 1, так как сама дробь не равна нулю. Во всех случаях важна одна проверка: основание не должно быть нулём.

Запись 0⁰ нужно отличать от a⁰ при a ≠ 0. В правиле буква a обозначает ненулевое основание, а потому нельзя просто подставить вместо неё ноль и объявить результат равным единице. Кроме того, получить такую степень переходом деления здесь не выйдет: пришлось бы делить на ноль. Следовательно, правило a⁰ = 1 не определяет значение 0⁰.

Значения степени с нулевым показателем

В таблице собраны случаи, в которых можно применить правило, и отдельная запись, к которой оно не относится. Сначала найди основание в выражении и проверь условие в среднем столбце. Если оно ненулевое, значение нулевой степени равно 1.

Строка с 0⁰ нужна, чтобы не переносить правило на нулевое основание. Для неё таблица не указывает значение, а отмечает, что правило неприменимо.

Разбор задач

Задача: вычислите 8⁰. Сначала замечаем, что показатель равен нулю, поэтому подходит правило нулевой степени. Затем проверяем основание: 8 не равно нулю. Значит, можно заменить всё выражение единицей.

1. Записываем основание: a = 8.
2. Проверяем условие: 8 ≠ 0.
3. Применяем правило a⁰ = 1 и получаем 8⁰ = 1.

Ответ: 1. Проверка условия перед применением правила показывает, что здесь нет особого случая с нулевым основанием. Никаких дополнительных вычислений выполнять не требуется.

Задача: вычислите (−5)⁰ + (3/4)⁰. В выражении две степени с нулевым показателем, поэтому проверим каждое основание отдельно. Числа −5 и 3/4 оба ненулевые, значит, каждая степень равна 1. После замены остаётся сложить единицы.

1. Для первой степени: −5 ≠ 0, поэтому (−5)⁰ = 1.
2. Для второй степени: 3/4 ≠ 0, поэтому (3/4)⁰ = 1.
3. Складываем: 1 + 1 = 2.

Ответ: 2. Скобки в первой степени показывают, что всё отрицательное число является основанием. Дробное основание тоже допустимо, если оно не равно нулю.

Задача: упростите (2⁵ · 2⁰) / 2³ и объясните, почему правило нулевой степени здесь применимо. Сначала разбираем выражение в числителе: 2⁰ имеет ненулевое основание, поэтому его можно заменить единицей. Затем умножение на 1 не меняет числитель, а оставшееся деление степеней с одинаковым основанием упрощается вычитанием показателей.

1. Поскольку 2 ≠ 0, имеем 2⁰ = 1.
2. Числитель равен 2⁵ · 1 = 2⁵.
3. Делим степени с одинаковым основанием: 2⁵ / 2³ = 2⁵⁻³ = 2².
4. Вычисляем: 2² = 4.

Ответ: 4. Правило нулевой степени применимо, потому что основание 2 не равно нулю. Деление в последнем действии также допустимо: основание 2 ненулевое.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать, что a⁰ = 1 при любом a, включая ноль. Её допускают, когда запоминают короткую формулу и опускают условие a ≠ 0. Проверь себя: перед применением правила найди основание и убедись, что оно ненулевое.

• Ошибка: записывать 0⁰ = 1 по правилу нулевой степени. Так происходит, если нулевое основание принимают за обычное ненулевое число. Проверь себя: правило требует a ≠ 0, а при нулевом основании к нему применять нельзя.

• Ошибка: считать a⁰ равным 0, потому что показатель равен нулю. Здесь путают показатель — маленькое число справа вверху — со значением всей степени. Проверь себя на простом примере: 4⁰ = 1, поскольку основание 4 ненулевое.

• Ошибка: ожидать отрицательный ответ из-за отрицательного основания. Ученик переносит сюда представление о знаке степеней с другими показателями, но при нулевом показателе результат для любого ненулевого основания равен 1. Проверь скобки и основание: (−5)⁰ = 1, а не −1.

Связь с другими темами

Для понимания нулевой степени нужны смысл степени с натуральным показателем и правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями. Именно правило деления помогает вывести a⁰ = 1 при a ≠ 0, а последовательность степеней показывает ту же закономерность на примерах. Дальше нулевая степень будет встречаться при упрощении алгебраических выражений. Она также подготовит к изучению степеней с целыми показателями.

Что запомнить

• Если a ≠ 0, то a⁰ = 1.
• Основание нулевой степени обязательно должно быть ненулевым.
• Любое ненулевое число, возведённое в нулевую степень, равно 1.
• Правило a⁰ = 1 не определяет значение 0⁰.
• Нулевой показатель не означает, что значение степени равно нулю.