"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Нулевой показатель — это показатель степени, равный нулю. Для любого ненулевого основания действует правило a⁰ = 1: например, 7⁰ = 1 и (−3)⁰ = 1. Это правило позволяет упрощать числовые и буквенные выражения. Но основание обязательно нужно проверить: выражение 0⁰ по этому правилу не определено. Поэтому, если основание содержит переменную, сначала выясняют, при каких её значениях оно не обращается в ноль.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Нулевой показатель — это показатель степени, равный нулю. Например, в записи a⁰ показатель — маленький знак 0 справа и сверху от основания a. Он показывает, что число или выражение возводят в нулевую степень. Это понятие помогает записывать и упрощать степени, не меняя их основание.
Степень с нулевым показателем любого ненулевого числа равна единице: если a ≠ 0, то a⁰ = 1. Здесь a — основание, а верхний знак 0 — показатель степени. Например, 5⁰ = 1, а (−2)⁰ = 1. Правило нужно, чтобы заменять такую степень единицей при вычислениях.
Основание степени — число или выражение, которое возводят в степень. В записи (x − 4)⁰ основание — всё выражение x − 4, а не только x. Для правила a⁰ = 1 основание должно иметь ненулевое значение. Поэтому в буквенных примерах сначала выясняют, при каких значениях переменной это условие выполняется.
Запись 0⁰ не определяется правилом нулевого показателя и в рамках этой темы считается не имеющей значения. Нельзя подставить ноль вместо a в формулу a⁰ = 1, потому что формула действует лишь при a ≠ 0. Это ограничение нужно учитывать, когда основание зависит от переменной. Оно отделяет определённые степени от выражений, которые нельзя вычислить по данному правилу.
Чтобы понять, почему возникает единица, вспомним свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ. Это свойство означает, что при делении одинаковые множители в числителе и знаменателе сокращаются. Возьмём частный случай, когда делим степень на саму себя: aⁿ/aⁿ. Для такого деления основание не может быть нулём.
Если a ≠ 0, то aⁿ — ненулевое число, и отношение aⁿ/aⁿ равно 1. Одновременно по свойству деления степеней с одинаковым основанием это отношение равно aⁿ⁻ⁿ. Разность показателей n − n равна нулю, поэтому получается запись a⁰. Два выражения описывают одно и то же отношение, значит, a⁰ = 1.
Условие a ≠ 0 обязательно не для красоты записи. Если взять a = 0 и n > 0, то отношение aⁿ/aⁿ превратится в 0ⁿ/0ⁿ, то есть в деление на ноль. Такое деление невозможно, поэтому рассуждение, которое обосновывает правило, не сработает. Именно поэтому из него нельзя заключить, что 0⁰ тоже равно единице.
Правило подходит как для числовых, так и для буквенных оснований, если их значение ненулевое. Например, (−a)⁰ = 1 при a ≠ 0, потому что тогда −a тоже не равно нулю. Для (ab)⁰ условие записывают как ab ≠ 0; это означает, что оба множителя a и b ненулевые. Если хотя бы один из них равен нулю, произведение будет нулём и правило применить нельзя.
При подстановке нулевого показателя сначала посмотри на всё основание, а затем проверь, не обращается ли оно в ноль. Если оно ненулевое, степень можно заменить единицей; знак основания и его состав этого правила не меняют. Например, при x ≠ 4 выражение (x − 4)⁰ равно 1. При x = 4 основание равно нулю, и получается 0⁰, которое не определено.
| Выражение | Условие | Значение | Пояснение |
|---|---|---|---|
| a⁰ | a ≠ 0 | 1 | Правило нулевого показателя |
| (−a)⁰ | a ≠ 0 | 1 | Основание ненулевое |
| (ab)⁰ | ab ≠ 0 | 1 | Оба множителя ненулевые |
| 0⁰ | — | Не определено | Правило a⁰ = 1 требует a ≠ 0 |
Пользуйся таблицей так: сначала найди основание и проверь условие во втором столбце, затем прочитай значение степени. В случае произведения ab условие ab ≠ 0 означает, что ни один множитель не равен нулю. Строка 0⁰ напоминает, что подставлять ноль в правило нельзя.
В каждом примере начнём с проверки основания: именно она показывает, можно ли применять правило a⁰ = 1. Затем заменим нулевую степень единицей и выполним оставшиеся действия. В буквенных выражениях укажем, при каких значениях переменной ответ имеет смысл.
Оба основания ненулевые: 7 не равно нулю, и −3 тоже не равно нулю. Поэтому правило применимо к каждой степени. Минус во втором примере входит в основание и не меняет значение нулевой степени.
Ответ: 7⁰ = 1; (−3)⁰ = 1.
В выражении есть множитель 5 и степень x⁰. Условие x ≠ 0 уже дано, поэтому основание степени ненулевое. Сначала заменим только степень на единицу, а затем выполним умножение.
Ответ: 5.
Основание степени здесь составное: это всё выражение x − 4. Оно должно быть не равно нулю, иначе получилась бы не определённая по правилу степень 0⁰. Поэтому сначала исключим значение x, при котором x − 4 = 0, и только потом применим правило.
Ответ: 1 при x ≠ 4; при x = 4 выражение не определено.
Ошибка: считать, что a⁰ = 0, потому что показатель равен нулю. Путают показатель степени со значением всей степени, хотя для ненулевого основания ответ равен 1. Проверка: подставь, например, 7 и проверь правило aⁿ/aⁿ = 1; для ненулевого основания нулевая степень тоже должна дать 1.
Ошибка: применять a⁰ = 1 при a = 0. Так забывают условие, при котором правило работает. Проверь основание до вычисления: если оно равно нулю, получилась бы запись 0⁰, и заменять её единицей нельзя.
Ошибка: считать, что (−a)⁰ = −1. Минус ошибочно переносят перед результатом, хотя он является частью основания. Если a ≠ 0, основание −a ненулевое, поэтому вся степень равна 1; проверка на примере (−3)⁰ подтверждает это.
Ошибка: сокращать aⁿ/aⁿ до 1 при a = 0 и на этом основании рассуждать о 0⁰. При нулевом основании знаменатель равен нулю, а деление на ноль невозможно. Перед сокращением проверь, что знаменатель ненулевой; именно это условие не позволяет использовать такой вывод для 0⁰.
Чтобы понять правило нулевого показателя, нужно знать свойства степеней с натуральными показателями, особенно деление степеней с одинаковым основанием. Оно связывает отношение aⁿ/aⁿ с разностью показателей и помогает обосновать формулу a⁰ = 1. При этом условие ненулевого знаменателя сохраняется и в этом рассуждении.
Нулевая степень помогает упрощать алгебраические выражения: вместо подходящей степени можно записать единицу, если основание не равно нулю. Позже это правило используют при изучении степеней с целыми показателями. Привычка проверять основание пригодится и в других преобразованиях выражений.
Почему любое ненулевое число в нулевой степени равно единице?
При a ≠ 0 можно разделить aⁿ на само себя и получить 1. По правилу деления степеней это же отношение равно aⁿ⁻ⁿ = a⁰, значит, a⁰ = 1.
Почему основание степени с нулевым показателем должно быть ненулевым?
Правило получают, деля одинаковые степени с основанием a, а делить на ноль нельзя. Поэтому оно работает только при a ≠ 0.
Чему равно 0⁰?
В рамках этой темы выражение 0⁰ не определено. Правило a⁰ = 1 относится только к ненулевым основаниям.
Чему равна нулевая степень отрицательного числа?
Она равна 1, если отрицательное число не равно нулю. Например, (−3)⁰ = 1: знак входит в основание и не меняет правило.
Как найти значения переменной, при которых выражение с нулевым показателем определено?
Найдите основание степени и проверьте, при каких значениях переменной оно не равно нулю. Например, для (x − 4)⁰ нужно условие x − 4 ≠ 0, то есть x ≠ 4.
§ 15. Степень с нулевым показателем
