§ 25. Метод выделения полного квадрата

Определения и обозначения

Полный квадрат — выражение, которое можно представить в виде квадрата некоторого выражения, например (x + 3)² или (x − 2)². Это следует из формул (x + a)² = x² + 2ax + a² и (x − a)² = x² − 2ax + a². Понятие нужно, чтобы узнавать в выражении знакомую формулу и преобразовывать его удобным способом.

Выделить полный квадрат — значит преобразовать выражение так, чтобы в нём появился квадрат двучлена, то есть суммы или разности двух слагаемых. Например, x² + 6x можно записать как (x + 3)² − 9. Такой вид помогает решать уравнения: квадрат двучлена можно приравнять числу, а затем найти неизвестное.

Коэффициент — число, на которое умножается переменная. В выражении x² + bx + c буква b обозначает коэффициент при x, а c — свободный член, то есть число без переменной. Эти обозначения позволяют записать общий способ выделения квадрата: коэффициент при x делят пополам и используют результат для составления двучлена.

Как это устроено

Рассмотрим выражение x² + bx, где b — некоторое число. Чтобы оно стало квадратом двучлена, сравним его с формулой (x + a)² = x² + 2ax + a². Коэффициент при x в этой формуле равен 2a, поэтому подходящее число a равно b/2. Значит, к x² + bx не хватает числа (b/2)².

Если добавить недостающий член, значение выражения изменится, а нам нужно сохранить равенство. Поэтому мы одновременно добавляем и вычитаем одно и то же число: x² + bx = x² + bx + (b/2)² − (b/2)². Первые три слагаемых теперь составляют полный квадрат, а оставшееся число записывается отдельно. Получается формула x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)².

Знак в скобках зависит от знака коэффициента b. Например, при b = 6 берём половину 3 и получаем квадрат (x + 3)², а при b = −8 берём половину −4 и получаем (x − 4)². Проверить выбор можно раскрытием скобок: коэффициент при x должен вернуться к исходному. Такой контроль особенно полезен, когда в записи много минусов.

В квадратном уравнении x² + bx + c = 0 применяем то же преобразование к первым двум слагаемым. Переносим свободный член и добавляем квадрат половины b: (x + b/2)² = (b/2)² − c. Теперь квадрат двучлена равен известному числу, поэтому можно перейти к двум равенствам с противоположными знаками корня. Если справа отрицательное число, действительных решений нет, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Если перед x² стоит коэффициент, отличный от 1, сначала удобно разделить обе части уравнения на этот коэффициент. Например, в уравнении 2x² + 8x + 6 = 0 делим все слагаемые на 2 и получаем x² + 4x + 3 = 0. После этого можно использовать обычное правило: половина коэффициента 4 равна 2, значит, к первым двум слагаемым добавляется 4. Делить нужно каждую часть уравнения целиком, иначе равенство изменится.

Основные формулы и действия

Сначала определите коэффициент при x, затем возьмите его половину и возведите в квадрат. При преобразовании выражения добавьте и вычтите найденное число, а в уравнении проверьте знаки после переноса слагаемых. Таблица помогает выбрать нужную формулу и сверить результат раскрытием скобок.

Разбор задач

Решим уравнение x² + 6x + 5 = 0 методом выделения полного квадрата. Здесь коэффициент при x равен 6, а свободный член — 5. Наша цель — превратить первые два слагаемых в квадрат двучлена и затем найти значения x.

1. Перенесём свободный член в правую часть: x² + 6x = −5. Так выражение с переменной остаётся слева, где удобнее выделить квадрат.
2. Возьмём половину коэффициента при x: 6 : 2 = 3. Возведём её в квадрат: 3² = 9, поэтому добавим 9 к обеим частям равенства, чтобы сохранить равенство.
3. Запишем полученное равенство: x² + 6x + 9 = −5 + 9. Левая часть — квадрат суммы, поэтому получаем (x + 3)² = 4.
4. Если квадрат числа равен 4, само число может быть равно 2 или −2. Поэтому x + 3 = 2 или x + 3 = −2; учитываем оба варианта, а не только положительный корень.
5. Решим оба простых уравнения: в первом x = −1, во втором x = −5. Эти значения и являются кандидатами на корни исходного уравнения.

Проверим результат подстановкой. Для x = −1 получаем 1 − 6 + 5 = 0, а для x = −5 получаем 25 − 30 + 5 = 0. Оба равенства верны, поэтому ответ: −1 и −5.

Типичные ошибки

• Добавляют недостающее число только к одной части уравнения. Так равенство нарушается, хотя квадрат двучлена слева составлен верно. Проверьте, что одно и то же число прибавлено к обеим частям.

• Забывают вычесть добавленное число, когда преобразуют выражение. Тогда вместо исходного выражения получается другое. Раскройте скобки в ответе: после упрощения должны снова получиться исходные слагаемые.

• Неверно выбирают знак в двучлене, например записывают (x + 4)² вместо (x − 4)² при коэффициенте −8. Ошибка возникает, если не учитывать знак коэффициента при делении пополам. Раскройте скобки и убедитесь, что член с x имеет нужный знак.

• При извлечении корня оставляют только положительный вариант. Между тем из u² = 4 следуют два случая: u = 2 и u = −2. Чтобы не потерять корень, запишите оба равенства, а затем проверьте полученные ответы подстановкой.

Связь с другими темами

Для выделения полного квадрата нужны формулы сокращённого умножения — формулы квадрата суммы и квадрата разности. Метод также связан с решением линейных уравнений: после извлечения корня остаются уравнения, в которых неизвестное находят переносом числа. Наконец, преобразование помогает решать квадратные уравнения и сопоставляется с разложением многочлена на множители: оба способа позволяют найти его корни, но действуют по-разному.

Что запомнить

• Чтобы выделить квадрат в x² + bx, возьмите половину коэффициента b и возведите её в квадрат.

• Добавляя число для образования полного квадрата, вычитайте его или прибавляйте к обеим частям уравнения, чтобы сохранить равенство.

• При решении уравнения вида u² = d учитывайте оба знака корня, если d положительно.

• Проверяйте преобразования раскрытием скобок, а найденные корни — подстановкой в исходное уравнение.