"Алгебра", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Деление многочлена на одночлен сводится к делению каждого слагаемого многочлена на один и тот же одночлен. Знаки слагаемых при этом сохраняются, коэффициенты делятся, а показатели одинаковых букв вычитаются. Это правило помогает упрощать алгебраические выражения и решать уравнения. Результат удобно проверять обратным действием: умножить частное на делитель и получить исходный многочлен.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение чисел и буквенных степеней, например 6a²b. Перед делением одночлен приводят к стандартному виду: перемножают числовые множители и записывают одинаковые буквы как степени, например 2a · 3a² = 6a³. Так проще увидеть коэффициент и показатели степеней, которые понадобятся при вычислении.
Многочлен состоит из нескольких одночленов, соединённых знаками сложения или вычитания. Например, 4x² − 3x + 7 содержит три слагаемых: 4x², −3x и 7. Понимание состава многочлена нужно, чтобы при делении не пропустить ни одну его часть.
Деление многочлена на одночлен — это деление каждого слагаемого многочлена на данный одночлен. Например, в выражении (8x + 12) : 4 отдельно делят 8x на 4 и 12 на 4. Такое действие позволяет перейти от одного сложного выражения к нескольким простым делениям одночленов.
Частное многочлена — результат деления, составленный из частных отдельных слагаемых. Если в исходном многочлене несколько слагаемых, результат обычно тоже записывают как сумму или разность. Это обозначение помогает отличать весь ответ от частного, полученного при делении только одного слагаемого.
Правило опирается на распределительное свойство умножения: умножение суммы на число можно заменить суммой произведений. Если многочлен разделён на ненулевой одночлен, то каждый полученный результат при умножении на делитель возвращает своё исходное слагаемое. В сумме эти слагаемые снова дают исходный многочлен, поэтому правило согласуется с обратным действием — умножением.
Делить нужно каждый член многочлена, потому что каждый из них входит в общий результат сложения или вычитания. Если разделить только первый член, остальные останутся прежними и равенство нарушится. Например, у выражения 12x + 18 при делении на 6 должны измениться и 12x, и 18: иначе умножение предполагаемого частного на 6 не восстановит всё исходное выражение.
Сначала многочлен записывают как сумму одночленов, явно сохраняя знаки: например, 9a² − 6a — это 9a² плюс −6a. Затем каждое слагаемое делят на одночлен-делитель и соединяют полученные частные исходными знаками. Такой порядок не позволяет случайно изменить знак или пропустить слагаемое.
При делении одночленов числовые коэффициенты делят друг на друга. Для букв с одинаковым основанием показатели вычитают: x⁵ : x² = x³, так как общие множители x² сокращаются. Буква, которая есть только в делимом, остаётся в частном, а буква только в делителе может оказаться в знаменателе, если деление рассматривают среди рациональных выражений.
Делитель не должен быть равен нулю: деление на ноль не определено. Кроме того, результат зависит от того, какие выражения разрешены в задаче: например, 6 : 4 = 3/2, поэтому ответ не всегда будет целым числом. Если буквенная часть делителя содержит x, то при её сокращении нужно исключить x = 0; если в результате возникает знаменатель с переменной, ответ допустим при условии, что этот знаменатель не равен нулю.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Подготовка многочлена | Записать его как сумму одночленов | Не терять знаки слагаемых |
| Деление первого слагаемого | Разделить его на одночлен-делитель | Отдельно разделить коэффициенты и буквенные части |
| Деление каждого следующего слагаемого | Повторить деление для всех оставшихся членов | Сохранить знак каждого слагаемого |
| Запись результата | Соединить частные в многочлен | Упростить выражение и указать ограничения, если они есть |
| Проверка умножением | Умножить частное на делитель | Должен получиться исходный многочлен |
Используйте строки таблицы по порядку: переходите к следующей только после того, как разделили очередное слагаемое. Если в частном появляются дроби или переменные в знаменателе, проверьте, допустимы ли они в условиях задачи. В конце умножьте ответ на делитель.
Задача 1. Разделите 12x + 18 на 6.
Ответ: 2x + 3.
Задача 2. Разделите 15a³b − 10a²b² + 5ab на 5ab.
Ответ: 3a² − 2ab + 1, при a ≠ 0 и b ≠ 0.
Задача 3. Разделите 8x² − 12x + 6 на 4x.
Ответ: 2x − 3 + 3/(2x), при x ≠ 0; результат не является многочленом.
Делить только первый член многочлена. Так делают, когда воспринимают многочлен как одно длинное выражение и забывают о его слагаемых. В результате умножение ответа на делитель не восстановит все исходные члены. Проверьте, что для каждого слагаемого записано отдельное деление.
Делить одночлен-делитель на каждый член многочлена. Это меняет местами делимое и делитель, поэтому получается другая операция. Ошибка часто возникает из-за того, что оба выражения записаны рядом со знаком деления. Перед вычислением обозначьте, что стоит слева от знака деления, а что справа, и проверьте результат умножением именно на исходный делитель.
Менять знаки слагаемых без основания. При делении исходные знаки сохраняются: например, член −10x даёт отрицательное частное, если делитель положителен. Знак меняется лишь тогда, когда этого требуют знаки коэффициентов в конкретном делении. Чтобы проверить себя, перепишите слагаемые с их знаками и не убирайте их до вычисления.
Складывать показатели степеней вместо того, чтобы вычитать. При делении одинаковых оснований общие множители сокращаются, поэтому x⁵ : x² = x³, а не x⁷. Путаница появляется из-за сходства правил умножения и деления степеней. Проверьте действие на простом примере: x³ : x = x², поскольку один множитель x сокращается.
Чтобы делить одночлены, нужно уметь приводить их к стандартному виду, делить коэффициенты и выполнять действия со степенями. Правило также связано с распределительным свойством умножения: именно оно объясняет, почему деление выполняют для каждого слагаемого. Навык пригодится при упрощении алгебраических выражений и преобразовании частей уравнений; ограничения на переменные при этом нужно учитывать.
Почему нужно делить каждое слагаемое многочлена?
Потому что многочлен — это сумма или разность слагаемых, а умножение распределяется относительно сложения. Если разделить каждое слагаемое на один и тот же делитель, а затем умножить результат на него, исходный многочлен восстановится.
Можно ли разделить на одночлен только первый член многочлена?
Нет, так получится частное только для первого слагаемого, а остальные части многочлена останутся без деления. Делить нужно каждое слагаемое.
Что происходит со знаками слагаемых при делении?
Знаки сохраняются: знак «плюс» остаётся плюсом, а знак «минус» — минусом. Знак отдельного результата может измениться только из-за знаков коэффициентов при делении.
Как делить буквенные части одночленов?
Степени с одинаковыми основаниями делят, вычитая показатели: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, если a ≠ 0. Если буква есть только в числителе, она остаётся в частном; если только в делителе — появляется в знаменателе.
Как проверить результат деления многочлена на одночлен?
Умножьте полученное частное на делитель. После упрощения должно получиться исходное выражение; также учитывайте, что делитель не может быть равен нулю.
§ 26. Деление многочлена на одночлен
