"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Процентная частота показывает, какую долю всех наблюдений составляет выбранное значение, если представить общее число наблюдений как сто. Она помогает описывать результаты опросов и наблюдений, а также сравнивать группы разного размера. Чтобы её найти, частоту значения делят на общее число наблюдений и умножают на 100%. Если учтены все возможные значения, их процентные частоты вместе составляют 100% с учётом округления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Статистическая совокупность — множество наблюдаемых объектов или результатов, о которых собирают данные. Например, совокупностью могут быть оценки учеников одного класса или ответы участников опроса. Её размер — общее число учтённых наблюдений. Это число нужно, чтобы понимать, с каким количеством данных мы сравниваем отдельные результаты.
Частота значения — число раз, которое это значение встречается в данных. Если оценка «4» встретилась восемь раз, её частота равна 8. Частота показывает количество случаев, а не долю от всех случаев. Она нужна, чтобы подсчитать, насколько часто наблюдается каждое значение.
Относительная частота — отношение частоты значения к общему числу наблюдений. Её находят делением частоты на размер всей совокупности. Например, 8 появлений среди 20 наблюдений дают относительную частоту 8 : 20 = 0,4. Она помогает увидеть долю значения и сопоставлять данные, даже если в группах разное число участников.
Процентная частота — относительная частота, выраженная в процентах. Чтобы перейти к ней, относительную частоту умножают на 100%. Так, доля 0,4 соответствует 40%. Процентная частота наглядно показывает, какую часть из ста наблюдений составляет выбранное значение.
Сначала собирают данные и подсчитывают общее число наблюдений. Это число служит общей основой для дальнейших вычислений: без него нельзя понять, велика ли отдельная частота. Например, 10 случаев могут быть значительной частью небольшой группы и небольшой частью большой. Поэтому перед сравнением важно знать размер совокупности и учитывать все наблюдения.
Затем для каждого значения определяют частоту — считают, сколько раз оно встретилось. Подсчёт ведут по одним и тем же правилам для всей совокупности, чтобы не пропустить случаи и не посчитать один случай дважды. Частота нужна для описания набора данных: она показывает количество появлений каждого результата. Если известны частоты всех значений, их сумма должна совпадать с общим числом наблюдений.
Однако сравнивать только частоты удобно не всегда. Допустим, в одной группе 10 человек выбрали определённый ответ из 20, а в другой такой ответ дали 12 человек из 40. Во второй группе ответов больше по количеству, но сама группа тоже больше. Чтобы сравнить именно доли, каждую частоту делят на общее число наблюдений в её группе; так получают относительную частоту.
Относительная частота обычно записывается дробью или десятичным числом. Например, если значение встретилось 8 раз из 20, вычисление 8 : 20 даёт 0,4. Умножение на 100% переводит эту долю в процентную частоту: 0,4 · 100% = 40%. Теперь результат легко прочитать как долю на каждые сто наблюдений, даже если в исходной группе их было не сто.
Если в таблице учтены все возможные значения, их частоты вместе охватывают все наблюдения. Поэтому сумма относительных частот равна 1, а сумма процентных частот — 100%. Это следует из того, что общая сумма частот совпадает с числом наблюдений: всё количество делят на само себя. При округлении отдельных процентов сумма может немного отличаться от 100%.
| Показатель | Как найти | Что показывает | Сумма по всем значениям |
|---|---|---|---|
| Частота значения | Подсчитать число появлений | Количество случаев | Общее число наблюдений |
| Относительная частота | Частоту разделить на общее число наблюдений | Долю от всех наблюдений | 1 |
| Процентная частота | Относительную частоту умножить на 100% | Долю от всех наблюдений в процентах | 100% |
Пользуйся таблицей по цепочке: сначала найди количество случаев, затем его долю от общего числа и, если нужно, переведи долю в проценты. В последнем столбце указана сумма для полного распределения, в котором учтены все значения. Если проценты округляли, небольшое отклонение от 100% возможно.
Задача 1. В наборе 20 оценок оценка «4» встречается 8 раз. Найдите её относительную и процентную частоты. Сначала определим, какая часть всех оценок приходится на четвёрки. Затем переведём эту часть в проценты.
Ответ: относительная частота равна 0,4, процентная — 40%. Проверка смысла: если бы оценок было 100 при той же доле, на четвёрки пришлось бы 40 оценок. Поэтому процентная частота не равна самой частоте 8.
Задача 2. В опросе участвовали 40 учеников: 18 выбрали футбол, 12 — баскетбол, остальные — волейбол. Найдите процентную частоту каждого ответа и проверьте сумму. Для начала найдём недостающую частоту, чтобы распределить всех участников по трём ответам. Затем каждую частоту разделим на 40 и переведём результат в проценты.
Ответ: футбол — 45%, баскетбол — 30%, волейбол — 25%. Сумма равна 100%, потому что учтён каждый участник опроса. Если бы часть учеников не ответила или ответы не были учтены, такой проверки могло бы не получиться.
Задача 3. В двух классах из 25 и 40 учеников любимый предмет назвали 10 и 14 человек соответственно. В каком классе доля таких учеников больше? Числа 10 и 14 сами по себе не дают ответа: они получены в группах разного размера. Поэтому сравним процентные частоты, то есть доли внутри каждого класса.
Ответ: доля учеников больше в первом классе. Хотя во втором классе предмет назвали больше человек, там и учеников больше. Сравнение процентов учитывает размер каждой группы и показывает, что в первом классе этот выбор распространён чаще.
Ошибка: делить частоту значения на частоту другого значения вместо общего числа наблюдений. Её допускают, когда сравнивают два результата и забывают, что доля должна относиться ко всей совокупности. Проверь знаменатель: в нём должно стоять количество всех наблюдений именно в этой группе. Если учтены все значения, сумма частот должна дать тот же знаменатель.
Ошибка: умножить частоту на 100, не разделив её на общее число наблюдений. Так получают число, которое не показывает долю, и результат может оказаться больше 100%. Сначала найди частное «частота : общее число», а потом умножай его на 100%. Для проверки подумай, может ли значение занимать больше всей совокупности.
Ошибка: принимать процентную частоту за количество наблюдений. Её допускают, потому что и частота, и процент описывают одно и то же значение, но единицы у них разные: случаи и проценты. Например, частота 10 в группах из 20 и 50 человек даёт разные доли. Проверяй, указан ли в ответе знак % и соответствует ли расчёт размеру группы.
Ошибка: считать, что сумма процентных частот полного распределения может быть любой. Обычно это происходит, если забыли один из ответов или неверно вычислили долю. Сложи проценты всех значений: при полном учёте данных должно получиться 100%. Небольшое отличие возможно, если значения округляли.
Для вычислений нужны умения находить долю величины, делить числа и переводить дробь в проценты. Эти действия уже знакомы по задачам на проценты, но здесь их применяют к данным о наблюдениях. Процентные частоты помогают описывать результаты опросов, наблюдений и экспериментов. Они также дают возможность сравнивать выборки разного размера и подготавливают к чтению и составлению таблиц распределения данных и их графического представления.
Чем частота отличается от процентной частоты?
Частота — это количество появлений значения, а процентная частота — его доля от всех наблюдений, выраженная в процентах. Например, частота 8 означает восемь случаев, а процентная частота показывает, сколько это процентов от общего числа.
Как найти процентную частоту значения?
Раздели частоту значения на общее число наблюдений и умножь результат на 100%. Например, если значение встретилось 8 раз из 20, то его процентная частота равна 8 : 20 · 100% = 40%.
Почему для разных по размеру выборок сравнивают процентные частоты?
Одинаковое количество случаев может составлять разную долю в маленькой и большой выборках. Процентные частоты показывают долю от общего числа наблюдений, поэтому сравнение получается справедливее.
Как проверить, правильно ли составлена таблица процентных частот?
Проверь, что каждую частоту разделили на общее число наблюдений и умножили на 100%. Затем сложи процентные частоты: для полного распределения сумма должна быть 100%, если не учитывать округление.
Почему сумма процентных частот после округления может быть не ровно 100%?
При округлении отдельные значения немного меняются. Если сложить уже округлённые проценты, эти небольшие изменения могут дать сумму чуть больше или меньше 100%.
§ 35. Процентные частоты
