"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Произведение многочленов получают, умножая каждый член одной скобки на каждый член другой. Так раскрывают скобки и превращают выражение в сумму одночленов, которую обычно можно упростить: перемножить коэффициенты, сложить показатели одинаковых букв и объединить подобные слагаемые. Этот способ нужен для преобразования алгебраических выражений и решения уравнений. Главное — учесть все пары членов и внимательно проверить знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение многочленов — результат умножения одного многочлена на другой. Многочлен состоит из слагаемых: например, x + 2 — это два слагаемых. Понимание этого помогает не воспринимать скобки как единое неделимое число.
Правило умножения многочленов: каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого, а полученные произведения складывают. Значит, в выражении (a + b)(c + d) нужно учесть пары a и c, a и d, b и c, b и d. Это правило задаёт порядок работы и помогает не пропустить часть выражения.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 3x и −5x. После умножения они могут встретиться в одной сумме, и тогда их объединяют, складывая коэффициенты: 3x − 5x = −2x. Буквенная часть остаётся прежней, потому что слагаемые содержат одинаковые буквы в одинаковых степенях.
Стандартный вид многочлена — запись, в которой подобные слагаемые уже приведены. Например, x² + 2x + 3x + 1 записывают как x² + 5x + 1. Такой вид удобен: одинаковые части не повторяются, поэтому выражение легче читать и применять в дальнейших вычислениях.
Правило вытекает из распределительного свойства умножения: множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри. Для двух сумм это свойство применяют последовательно: сначала умножают всю первую сумму на каждый член второй, а затем раскрывают оставшиеся скобки. Например, (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd. Поэтому умножение суммы на сумму превращается в сумму попарных произведений.
Чтобы ничего не пропустить, удобно двигаться по первой скобке по порядку. Первый её член умножают на все члены второй скобки, затем то же делают со вторым членом и так далее. Можно мысленно составить пары или проверить их количество: если в скобках по два слагаемых, должно быть четыре произведения; если в одной два, а в другой три — шесть. Так легко заметить, что какая-то пара потерялась.
Каждая пара членов образует произведение одночленов. Одночлен — произведение числа и букв с показателями степеней, например 4x². Числовые коэффициенты перемножают, а при одинаковых основаниях показатели складывают: 4x² · 3x = 12x³, потому что x² · x = x²⁺¹. Если буквенные части разные, например x и y, их записывают вместе: 2x · 3y = 6xy.
После раскрытия скобок в сумме могут оказаться одинаковые буквенные части, поэтому выражение часто упрощают. Коэффициенты подобных слагаемых складывают, а сами буквы и их показатели сохраняют: 7x² − 2x² = 5x². Слагаемые с разными буквенными частями объединять нельзя: 3x и 3x² не являются подобными. Приведение подобных делает ответ короче и приводит его к стандартному виду.
Знак каждого произведения находят по знакам его множителей: плюс на плюс и минус на минус дают плюс, а произведение чисел с разными знаками отрицательно. Например, −2x · 3 = −6x, а −2x · (−3) = 6x. Перед упрощением полезно проверить знаки всех записанных произведений отдельно. После этого пересчитай пары членов: число произведений должно совпасть с произведением числа слагаемых в скобках.
Таблица помогает выполнять вычисления в одном порядке и не забывать ни о знаках, ни об упрощении. Переходи от строки к строке: сначала составь все пары, а затем вычисляй их произведения.
| Шаг | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| 1 | Перемножить каждый член первой скобки с каждым членом второй | Проверить, что учтены все пары |
| 2 | Записать все полученные произведения | Не объединять их преждевременно |
| 3 | Выполнить умножение коэффициентов и буквенных частей | При одинаковых буквах показатели складывают |
| 4 | Раскрыть скобки и учесть знаки | Знак проверяют для каждого произведения |
| 5 | Привести подобные слагаемые и записать ответ в стандартном виде | Объединять только слагаемые с одинаковой буквенной частью |
В первой скобке два члена, и во второй тоже два, значит, нужно получить четыре попарных произведения. Сначала умножим x на каждый член второй скобки, затем поступим так же с числом 2. Такой порядок помогает убедиться, что все пары учтены.
Запишем произведения: x · x + x · 3 + 2 · x + 2 · 3 = x² + 3x + 2x + 6. Здесь x · x = x², а умножение на число 3 или 2 меняет коэффициент при x. Все четыре слагаемых соответствуют отдельным парам.
Слагаемые 3x и 2x подобные, поэтому складываем их коэффициенты: 3x + 2x = 5x. Остальные слагаемые имеют другие буквенные части и остаются без изменения. Ответ: x² + 5x + 6.
У каждой скобки по два члена, поэтому выпишем четыре произведения. Важно воспринимать −3 как число со знаком минус, а не терять этот знак при умножении. Тогда каждую пару будет проще проверить отдельно.
Умножаем по порядку: 2a · a + 2a · 4 + (−3) · a + (−3) · 4. Получаем 2a² + 8a − 3a − 12. Последние два произведения отрицательны, потому что в каждой паре множители имеют разные знаки.
Слагаемые 8a и −3a подобные, поэтому складываем коэффициенты: 8 − 3 = 5. Члены 2a² и −12 имеют другую буквенную часть, объединять их нельзя. Ответ: 2a² + 5a − 12.
В первой скобке три члена, во второй два, значит, до упрощения ожидаем шесть произведений. Умножим каждый из трёх членов на 3x, а затем каждый из них на −5. Это разделение на две группы помогает не пропустить пары.
Записываем вычисления: x² · 3x + (−2x) · 3x + 1 · 3x + x² · (−5) + (−2x) · (−5) + 1 · (−5). Получаем 3x³ − 6x² + 3x − 5x² + 10x − 5. Знаки в произведениях с −5 проверяем по знакам множителей.
Теперь объединяем подобные слагаемые: −6x² − 5x² = −11x², а 3x + 10x = 13x. Член 3x³ и число −5 не имеют подобных слагаемых в этой сумме. Ответ: 3x³ − 11x² + 13x − 5.
Ученик может перемножить только первые члены скобок и забыть остальные пары. Обычно это происходит, когда правило воспринимают как одно короткое действие, а не как набор произведений. Проверь число слагаемых в скобках: до упрощения произведений должно быть столько, сколько даёт перемножение этих чисел.
Другая ошибка — потерять минус у члена или неверно определить знак произведения. Знак часто пропускают, если сразу начинают складывать слагаемые. Выпиши каждую пару со знаком отдельно и проверь правило: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
При умножении степеней одной буквы иногда перемножают показатели, например ошибочно получают x⁶ из x² · x³. Показатели нужно складывать: x² · x³ = x⁵, потому что вместе записаны пять множителей x. Для проверки представь степени как повторное умножение букв.
Наконец, можно не привести подобные слагаемые или объединить разные, например x и x². Первое оставляет ответ неупрощённым, второе меняет его значение. Сравни буквенную часть каждого слагаемого: коэффициенты складывают только у членов с одинаковыми буквами в одинаковых степенях.
Для умножения многочленов нужны распределительное свойство, правила действий с отрицательными числами и умение умножать одночлены. Если эти действия знакомы, раскрытие скобок сводится к последовательным вычислениям и приведению подобных слагаемых. При затруднении можно проверить каждый шаг отдельно: пары членов, коэффициенты, степени и знаки.
Умножение многочленов используют, когда раскрывают скобки и упрощают алгебраические выражения. Оно также встречается при решении уравнений, где сначала нужно преобразовать выражение к более удобному виду. Поэтому навык аккуратного попарного умножения помогает выполнять дальнейшие преобразования без пропусков.
Почему нужно умножать каждый член одной скобки на каждый член другой?
Так требует распределительное свойство: множитель перед суммой умножается на каждое её слагаемое. Если обе скобки являются суммами, правило применяется последовательно к каждой паре членов.
Как понять, сколько слагаемых должно получиться до упрощения?
Умножьте число слагаемых в первой скобке на число слагаемых во второй. Например, в произведении двучлена на трёхчлен до упрощения будет 2 · 3 = 6 произведений.
Что делать со степенями одинаковых букв при умножении одночленов?
Показатели складывают: например, x² · x³ = x⁵. Это правило действует, когда основания степеней одинаковые.
Как не ошибиться со знаками при раскрытии скобок?
Проверяйте знак каждой пары отдельно по правилам умножения чисел: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Удобно сначала записать произведения со знаками и только потом упрощать.
Обязательно ли приводить подобные слагаемые в ответе?
Обычно ответ записывают в стандартном виде, то есть приводят подобные слагаемые. Так выражение короче и его проще сравнивать с другими или использовать в дальнейших вычислениях.
§ 17. Умножение многочлена на многочлен
