"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Умножение одночлена на многочлен помогает раскрывать скобки и упрощать алгебраические выражения. Одночлен умножают на каждое слагаемое многочлена, а между полученными произведениями сохраняют сложение или вычитание. При вычислениях перемножают числовые коэффициенты, а показатели одинаковых переменных складывают. Затем, если появились подобные слагаемые, их приводят. Это правило основано на распределительном свойстве умножения и пригодится, в частности, при вынесении общего множителя за скобки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение числового коэффициента и степеней переменных, например −3a²b или 5x. В стандартном виде числовой коэффициент записывают первым, одинаковые переменные объединяют в степени, а произведение записывают без лишних знаков умножения. Коэффициент показывает, во сколько раз буквенная часть увеличена или уменьшена; если число не записано, коэффициент равен 1, а у −x он равен −1. Такая запись помогает без путаницы перемножать одночлены.
Многочлен — сумма одночленов, например 2x² − 3x + 4. Каждый одночлен в этой сумме называют слагаемым, а число 4 без переменной — свободным членом. Знаки «+» и «−» показывают, складывают слагаемое или вычитают его, поэтому при работе со скобками их нужно учитывать. Если умножать слагаемые многочлена по отдельности, можно применить к каждому одночлену обычные правила умножения.
Умножение одночлена на многочлен — действие, при котором одночлен умножают на каждое слагаемое многочлена. Например, при умножении 2x на x + 3 получаются произведения 2x · x и 2x · 3. Затем их записывают как сумму, учитывая знак каждого слагаемого. Это определение задаёт порядок раскрытия скобок и не позволяет пропустить часть выражения.
Правило умножения одночлена на многочлен следует из распределительного свойства умножения относительно сложения: a(b + c) = ab + ac. Оно означает, что сумму можно заменить двумя произведениями, не меняя значение выражения. Например, 2(3 + 4) и 2 · 3 + 2 · 4 дают одинаковый результат. Для многочлена с большим числом слагаемых действует то же свойство, применённое несколько раз.
Поэтому каждый член многочлена умножают на одночлен, а затем записывают полученные произведения с исходными знаками. Если слагаемое стояло после минуса, оно считается отрицательным: в выражении a(b − c) получаем ab − ac. Минус перед скобками не исчезает, а влияет на знак каждого произведения. Такой порядок помогает не менять значение выражения при раскрытии скобок.
Каждое полученное произведение вычисляют по правилам умножения одночленов. Сначала перемножают числовые коэффициенты, затем переменные: если основание одинаковое, показатели степеней складывают, потому что степени означают повторяющиеся множители. Например, 3x² · 2x = 6x³, ведь x² · x = x · x · x. Переменные с разными буквами остаются отдельными множителями.
После раскрытия скобок проверяют, есть ли подобные слагаемые. Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 4x и −x; складывать или вычитать можно их коэффициенты. Так, 4x − x = 3x, а 2x и 2x² подобными не являются. Приведение подобных слагаемых делает запись короче и часто завершает упрощение выражения.
Проверить раскрытие скобок можно обратным действием — вынести общий одночленный множитель за скобки. Например, сумму 6x² + 9x можно записать как 3x(2x + 3). Если после вынесения множителя скобки совпадают с исходным многочленом, проверка подтверждает преобразование. Этот способ особенно полезен, когда в выражении несколько слагаемых и легко потерять знак.
| Что умножаем | Действие | Результат |
|---|---|---|
| Одночлен на сумму двух слагаемых | Умножаем на оба слагаемых | a(b + c) = ab + ac |
| Одночлен на разность двух слагаемых | Умножаем на оба, сохраняя минус | a(b − c) = ab − ac |
| Одночлен на многочлен с несколькими слагаемыми | Умножаем на каждое слагаемое по порядку | Каждое слагаемое даёт отдельное произведение |
| Одночлены с одинаковыми переменными | Коэффициенты перемножаем, показатели складываем | 3x² · 2x³ = 6x⁵ |
Сначала определите, сколько слагаемых находится в скобках, чтобы получить столько же произведений. Затем проверьте знаки и отдельно перемножьте числовые коэффициенты и буквенные части. Последняя строка показывает правило для одночленов, которое понадобится при каждом таком умножении.
В скобках два слагаемых, значит, одночлен 3x должен дать два произведения. Начнём с 2x, а затем умножим на свободный член 5. После этого проверим, можно ли объединить полученные слагаемые.
Ответ: 6x² + 15x. Степень x во втором произведении равна 1, поэтому обычно x¹ записывают просто как x. Свободный член превратился в одночлен 15x, потому что его умножили на 3x.
Здесь отрицательный одночлен и три слагаемых, поэтому нужно получить три произведения. Заранее отметим знаки: отрицательное число умножается на положительное слагаемое со знаком минус, а на отрицательное — со знаком плюс. При умножении букв отдельно следим, есть ли одинаковые переменные.
Ответ: −6a² + 8ab − 2a. Слагаемое 1 не содержит переменной, но его тоже умножают на −2a, поэтому получается −2a. Подобных слагаемых здесь нет: буквенные части у всех трёх членов разные.
В выражении две пары скобок, и обе нужно раскрыть целиком. Во второй части множитель −3 действует на каждое слагаемое, поскольку перед скобками стоит вычитание 3, то есть отрицательный множитель. После раскрытия удобно сгруппировать слагаемые с x², с x и свободные числа.
Ответ: 3x² + 4x − 12. Коэффициенты при x² сложили отдельно, как и коэффициенты при x, а число −12 осталось свободным членом. Перед ответом можно проверить раскрытие обратным вынесением общего множителя в каждой исходной скобке.
Ошибка: умножить одночлен только на первое слагаемое и забыть остальные. Так бывает, если считать скобки единым объектом, а не суммой отдельных членов. Проверьте количество слагаемых в скобках и убедитесь, что для каждого записано отдельное произведение. Их должно быть столько же, сколько слагаемых было до раскрытия.
Ошибка: неверно расставить знаки при отрицательном одночлене. Обычно минус учитывают только в первом произведении, а дальше механически переписывают знаки из скобок. Умножайте каждый член отдельно и определяйте знак результата по знакам обоих множителей. Например, (−2) · (−4) положительно, а (−2) · 4 отрицательно.
Ошибка: при умножении степеней с одинаковым основанием перемножить показатели. Например, x² · x³ — это пять множителей x, поэтому результат x⁵, а не x⁶. Проверьте себя, раскрыв степени как произведения: x² · x³ = (x · x)(x · x · x). Показатели складывают именно при умножении степеней с одинаковым основанием.
Ошибка: не умножить числовой коэффициент на свободный член или приписать свободному члену переменную. Это может произойти, если внимание сосредоточено только на буквенных слагаемых. Отдельно проверьте каждое число в скобках: например, 3x · 5 = 15x, а не 15 и не 15x². В результате переменная появляется только тогда, когда она была в одном из множителей.
Для умножения одночлена на многочлен нужно знать распределительное свойство, правила знаков и умножение одночленов. Без распределительного свойства не получится обосновать, почему множитель относится ко всем слагаемым сразу. Правила знаков помогают правильно раскрывать скобки с минусом, а умножение степеней — записывать буквенную часть результата.
Это преобразование используют при упрощении выражений и приведении подобных слагаемых: сначала раскрывают скобки, затем объединяют члены с одинаковой буквенной частью. Обратное действие — вынесение общего множителя за скобки — помогает проверять результат и преобразовывать многочлен в произведение. Оба действия основаны на одном распределительном свойстве.
Почему одночлен нужно умножать на каждое слагаемое?
Так работает распределительное свойство: a(b + c) = ab + ac. Если умножить только на одно слагаемое, значение выражения изменится.
Что делать со знаками, если перед скобками стоит минус?
Умножьте отрицательный одночлен на каждое слагаемое отдельно. Произведение отрицательного числа на положительное будет отрицательным, а на отрицательное — положительным.
Как умножить одночлен на свободный член?
Свободный член — число без переменной, поэтому его умножают на числовой коэффициент одночлена. Полученное произведение остаётся числом.
Нужно ли приводить подобные слагаемые после раскрытия скобок?
Да, если после раскрытия скобок появились подобные слагаемые. Это слагаемые с одинаковой буквенной частью, коэффициенты которых можно сложить или вычесть.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Вынесите общий одночленный множитель за скобки в полученном выражении. Если после вынесения вы получили исходное выражение, раскрытие выполнено верно.
27. Умножение одночлена на многочлен
