§ 12 Умножение многочлена на многочлен

Определения и обозначения

Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Одночлены в такой сумме разделяются знаками плюс или минус, а складывать их в общий результат можно после приведения подобных. Понимание строения многочлена помогает увидеть, какие именно члены нужно перемножать.

Произведение многочленов — выражение, которое получают, умножая каждый член одного многочлена на каждый член другого. Например, при умножении (a + b)(c + d) рассматриваются пары ac, ad, bc и bd. Это определение задаёт полный порядок действий и не позволяет случайно пропустить слагаемое.

Подобные одночлены — это одночлены с одинаковой буквенной частью: одинаковыми буквами в одинаковых степенях. Например, 4x² и −7x² подобны, а 4x² и 4x — нет. У подобных одночленов можно сложить или вычесть коэффициенты, чтобы сократить запись.

Как это устроено

Правило умножения многочленов следует из распределительного свойства умножения относительно сложения и вычитания. Например, a(b + c) = ab + ac: множитель a должен попасть в каждый член скобок. Если первый множитель тоже является суммой, то это действие повторяется для каждого его члена.

При умножении двух двучленов каждый из двух членов первого выражения соединяется с каждым из двух членов второго. Поэтому получаются четыре пары: первый с первым, первый со вторым, второй с первым и второй со вторым. Схему удобно записывать так: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Каждое попарное произведение находят по правилам умножения одночленов. Сначала перемножают коэффициенты и определяют знак, а затем складывают показатели одинаковых букв: 3x² · (−2x³) = −6x⁵. Показатели не перемножают, потому что основание степени остаётся тем же, а множители с одинаковой буквой объединяются.

После вычисления произведений скобки раскрывают, то есть записывают результаты как слагаемые без скобок. Затем сравнивают буквенные части получившихся одночленов. Если найдены подобные, их объединяют, а неподобные оставляют отдельными слагаемыми.

Это правило подходит для многочленов с любым количеством членов. Если в одном множителе m членов, а в другом n, то до упрощения получится m · n промежуточных произведений. Часть из них затем может объединиться, если окажется подобной, но сначала нужно получить все пары.

Порядок умножения многочленов

Используйте таблицу как короткий алгоритм: переходите к следующему шагу только после завершения предыдущего. Если результат кажется неверным, проверьте сначала пары множителей, затем знаки и степени.

При большом количестве членов удобно отмечать уже использованные пары или умножать выражения по строкам. Такой порядок снижает риск пропуска и помогает аккуратно оформить решение.

Разбор задач

Задача 1. Выполните умножение: 3x(2x − 5).

Здесь один множитель является одночленом, поэтому его нужно распределить на оба члена двучлена. Сначала умножим 3x на 2x, затем на −5.

1. 3x · 2x = 6x².
2. 3x · (−5) = −15x.
3. Записываем оба результата: 6x² − 15x.

Ответ: 6x² − 15x.

Задача 2. Выполните умножение: (x + 4)(x − 3).

Оба множителя являются двучленами, поэтому должны появиться четыре попарных произведения. После них проверим, есть ли подобные слагаемые.

1. x · x = x², x · (−3) = −3x.
2. 4 · x = 4x, 4 · (−3) = −12.
3. Объединяем результаты: x² − 3x + 4x − 12 = x² + x − 12.

Ответ: x² + x − 12.

Задача 3. Упростите выражение: (2a − 3b)(a + 2b) − (a − b)(a + b).

Сначала перемножим каждую пару скобок отдельно. Минус перед второй скобкой после раскрытия изменит знаки всех слагаемых полученного произведения.

1. (2a − 3b)(a + 2b) = 2a² + 4ab − 3ab − 6b² = 2a² + ab − 6b².
2. (a − b)(a + b) = a² + 2ab − ab − 2b² = a² + b? Нет: правильное раскрытие даёт a² + ab − ab − b² = a² − b².
3. Вычитаем второе выражение: 2a² + ab − 6b² − (a² − b²) = a² + ab − 5b².

Ответ: a² + ab − 5b².

Типичные ошибки

Частая ошибка — умножить только первые члены многочленов. Так происходит, когда ученик воспринимает скобки как одно число и забывает о распределительном свойстве. Проверьте себя: число попарных произведений должно быть равно произведению числа членов в множителях.

Ошибки в знаках особенно часто появляются при умножении отрицательных одночленов. Минус на минус даёт плюс, а минус на плюс — минус. Перед каждой парой отдельно определяйте знак и только потом перемножайте числа.

Нельзя перемножать показатели степеней одинаковой буквы. При умножении x² · x³ показатели складываются: получается x⁵. Проверка проста: запишите степени как повторяющиеся множители и посчитайте их общее количество.

Неподобные одночлены иногда складывают только потому, что в них встречается одна и та же буква. Для подобия должны совпадать все буквы и их показатели: 2ab и 5ab подобны, а 2ab и 5a²b — нет. Если буквенная часть различается, объединять такие слагаемые нельзя.

Связь с другими темами

До умножения многочленов нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Оно объясняет, почему множитель раскрывается на каждый член скобок.

Также понадобятся правила умножения одночленов, действия со знаками и приведение подобных слагаемых. Без этих навыков правильно завершить преобразование выражения трудно.

Умножение многочленов используется при преобразовании выражений и решении уравнений. На его основе строятся формулы сокращённого умножения, которые позволяют выполнять некоторые преобразования быстрее.

Что запомнить

• Каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого.
• Коэффициенты одночленов перемножают.
• Показатели одинаковых букв при умножении складывают.
• Произведения записывают как слагаемые без скобок.
• В конце приводят подобные члены.
• При раскрытии скобок сохраняют знаки каждого слагаемого.