"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Разложение многочлена на множители — это замена суммы или разности произведением. Один из основных способов такого преобразования — вынесение общего множителя за скобки. Для этого находят число и переменные, которые входят в каждое слагаемое, делят на них все слагаемые и записывают полученные частные в скобках. Проверить результат можно раскрытием скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения нескольких множителей. Например, 6x + 9 = 3(2x + 3). Такое представление равно исходному выражению, поэтому его можно использовать вместо него при преобразованиях и решении задач.
Множитель — выражение, входящее в произведение. В записи 3(2x + 3) множителями являются число 3 и многочлен 2x + 3, а в произведении 4ab множителями служат число 4 и переменные a и b. Умение видеть множители помогает понять, что именно можно вынести за скобки.
Общий множитель — выражение, которое является множителем каждого слагаемого многочлена. Например, в 8a²b − 12ab² общими являются число 4, переменная a и переменная b. Поиск общего множителя показывает, какую часть суммы можно заменить произведением.
Вынесение общего множителя за скобки — преобразование суммы или разности в произведение общего множителя и выражения в скобках. Слагаемые делят на вынесенный множитель, а результаты записывают внутри скобок. Так сложное выражение часто становится короче и удобнее для дальнейших действий.
Вынесение множителя основано на распределительном свойстве умножения: a(b + c) = ab + ac. Если читать это равенство справа налево, из суммы ab + ac можно вынести a и получить a(b + c). Поэтому правильность разложения всегда проверяется обратным действием — раскрытием скобок.
Числовой общий множитель находят среди коэффициентов слагаемых. Обычно выбирают их наибольший общий делитель, чтобы в скобках остались как можно меньшие числа. Например, для 18x и 24 общий делитель 6 удобнее, чем 2, потому что 18x + 24 = 6(3x + 4).
Буквенную часть составляют только из переменных, которые встречаются во всех слагаемых. Если переменная имеет разные степени, берут наименьшую: в x³ и x² общей частью будет x². Нельзя взять x³, потому что второе слагаемое на него не разделится без отрицательной степени.
Алгоритм начинается с поиска общего множителя. Затем его записывают перед скобками, каждое слагаемое делят на него, а полученные частные помещают внутрь скобок с исходными знаками. Если выбирают отрицательный множитель, знак каждого частного меняется: например, −6x + 9 = −3(2x − 3).
| Этап | Что сделать | Пример |
|---|---|---|
| Найти общий множитель | Определить число и общие переменные в наименьших степенях | Для 8a²b − 12ab² это 4ab |
| Записать его перед скобками | Поставить найденный множитель перед парой скобок | 4ab( ... ) |
| Разделить каждое слагаемое на общий множитель | Полученные частные записать в скобках, сохранив знаки | 4ab(2a − 3b) |
| Проверить разложение раскрытием скобок | Умножить множитель на каждое слагаемое в скобках | 4ab(2a − 3b) = 8a²b − 12ab² |
Пользуйтесь таблицей как последовательной инструкцией: не переходите к следующему этапу, пока не проверили предыдущий. Особенно внимательно выполняйте деление каждого слагаемого, включая его знак. В конце раскройте скобки и сравните результат с исходным многочленом.
Во всех примерах сначала ищем множитель, общий для всех слагаемых. Затем делим на него каждое слагаемое и записываем частные в скобках. Последняя проверка показывает, не потеряны ли коэффициенты, переменные или знаки.
Оба коэффициента делятся на 3, а переменная x есть только в первом слагаемом. Значит, общий множитель равен 3. После деления должны получиться частные 2x и 3.
Ответ: 3(2x + 3). Выражение в скобках нельзя заменить на 2x + 9, потому что второе слагаемое тоже нужно разделить на 3.
Коэффициенты имеют общий делитель 4. В обоих слагаемых есть a и b, причём наименьшие степени равны a¹ и b¹, поэтому общий буквенный множитель — ab.
Ответ: 4ab(2a − 3b). Вынести a² или b² нельзя, потому что соответствующая переменная входит в одно из слагаемых только в первой степени.
Общий числовой делитель коэффициентов равен 5, а общая буквенная часть — x²y. Удобно вынести −5x²y, чтобы первым слагаемым в скобках стало положительное 3x. Тогда знаки остальных частных нужно определить делением на отрицательный множитель.
Ответ: −5x²y(3x − 2y + 1). Отрицательный множитель выбран для удобства, но можно было вынести 5x²y и получить 5x²y(−3x + 2y − 1).
Выбирают множитель, который есть не во всех слагаемых. Так происходит, когда смотрят только на часть записи и забывают проверить остальные члены. Разделите каждое слагаемое на выбранное выражение: если хотя бы одно частное не является обычным одночленом с целыми показателями, множитель выбран неверно.
Берут переменную в большей степени, чем она входит в одно из слагаемых. Например, из x³ и x² нельзя вынести x³, поскольку x² : x³ = 1/x. Сравните степени переменной во всех слагаемых и выберите наименьшую.
Иногда на общий множитель делят не все слагаемые или ошибаются в частном. Из-за этого один коэффициент или показатель степени меняется неправильно. Проверяйте каждое слагаемое отдельно, а затем умножьте найденный множитель на каждый член скобок.
При вынесении отрицательного множителя оставляют прежние знаки в скобках. Ошибка возникает потому, что знак перед скобками мысленно не учитывают при делении. Раскройте скобки: если знаки исходных слагаемых не восстановились, частные нужно исправить.
Перед изучением темы нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: a(b + c) = ab + ac. Также понадобятся правила действий с одночленами, включая умножение и деление коэффициентов, переменных и их степеней.
Вынесение общего множителя сокращает выражения и помогает увидеть их строение. Этот приём используется при упрощении выражений, решении уравнений и последующем разложении многочленов другими способами.
Как понять, что выражение можно разложить на множители?
Проверьте, есть ли множитель, который входит в каждое слагаемое многочлена. Это может быть число, переменная или целое выражение. Если такой множитель найден, его можно вынести за скобки.
Как найти наибольший общий множитель нескольких слагаемых?
Сначала найдите наибольший общий делитель числовых коэффициентов. Затем выберите переменные, которые есть во всех слагаемых, и возьмите каждую в наименьшей степени. Произведение этих частей будет удобным общим множителем.
Какую степень переменной выносить за скобки?
Нужно брать наименьшую степень, с которой переменная встречается во всех слагаемых. Например, для x³ и x² общий множитель содержит x². Большую степень вынести нельзя, потому что одно из слагаемых не разделится на неё.
Почему при вынесении минуса знаки в скобках меняются?
Каждое слагаемое делят на отрицательный общий множитель. Поэтому положительное слагаемое даёт отрицательное частное, а отрицательное — положительное. Это также видно при обратном раскрытии скобок.
Как проверить, что многочлен разложен правильно?
Раскройте скобки, умножив общий множитель на каждое слагаемое внутри скобок. После приведения подобных слагаемых должно получиться исходное выражение.
§ 13 Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки
