§ 10 Сложение и вычитание многочленов

Определения и обозначения

Многочлен — это сумма одночленов, приведённых к стандартному виду. В стандартной записи числовой коэффициент ставят перед переменной частью, а повторяющиеся переменные объединяют в степень: например, 4x²y. Такая запись позволяет быстро увидеть состав многочлена и найти слагаемые, которые можно объединить.

Подобные одночлены — это одночлены с одинаковой буквенной частью, например 3a² и −5a². Их можно складывать или вычитать: для этого складывают или вычитают коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменения. Это правило помогает упростить выражение, не меняя его значения.

Сумма многочленов — результат сложения всех их одночленов с последующим приведением подобных слагаемых. Например, при сложении выражений с x² можно собрать все слагаемые с x² в одну группу. Так многочлены становятся короче и удобнее для дальнейших вычислений.

Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. Вычесть многочлен означает прибавить многочлен с противоположными знаками: например, A − B = A + (−B). Этот смысл помогает правильно раскрывать скобки и не забывать менять знак каждого слагаемого вычитаемого многочлена.

Как это устроено

Чтобы сложить многочлены, достаточно соединить все их слагаемые, а затем привести подобные. Порядок слагаемых можно менять и группировать: от этого сумма не меняется, потому что сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами. Например, слагаемые с x² удобно поставить рядом, чтобы не искать их среди остальных членов выражения.

При сложении скобки раскрывают без изменения знаков: перед ними фактически стоит плюс. Прибавление выражения не меняет знаки его частей, поэтому (a + b) можно записать как a + b. Это правило применяют к каждому слагаемому многочлена, а не только к первому.

Вычитание заменяют сложением противоположного многочлена. Чтобы получить противоположный многочлен, у каждого слагаемого меняют знак: положительное становится отрицательным, отрицательное — положительным. Поэтому минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри, а не только первого.

После раскрытия скобок слагаемые группируют по буквенной части. В каждой группе складывают или вычитают коэффициенты, потому что переменная часть у подобных одночленов одинакова; неподобные слагаемые объединить нельзя. Например, 2x + 5x = 7x, но 2x + 5y остаётся без изменений.

В конце записывают результат в стандартном виде: приводят все подобные слагаемые и обычно располагают их по убыванию степеней переменной. Такой порядок не меняет значения выражения, но делает его более понятным и помогает заметить пропущенную степень. Если в многочлене несколько переменных, обычно группируют слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Правила сложения и вычитания многочленов

Сначала определите, что происходит со скобками, затем соберите подобные слагаемые. Таблица помогает быстро выбрать действие с знаками и понять, что делать с одночленами. После упрощения проверьте, что неподобные слагаемые остались отдельно.

Разбор задач

Условие: упростите выражение (3x² + 2x − 5) + (x² − 4x + 1). Поскольку перед вторыми скобками стоит плюс, знаки внутри них сохраняются. Затем найдём слагаемые с одинаковой буквенной частью, чтобы сложить их коэффициенты.

1. Раскрываем скобки: 3x² + 2x − 5 + x² − 4x + 1.
2. Группируем подобные: (3x² + x²) + (2x − 4x) + (−5 + 1).
3. Складываем коэффициенты: 4x² − 2x − 4.

Ответ: 4x² − 2x − 4. В результате остались три слагаемых с разными буквенными частями, поэтому объединить их дальше нельзя.

Условие: упростите выражение (5a² − 3a + 2) − (2a² + a − 6). Здесь из первого многочлена вычитают второй, значит, каждый знак во вторых скобках нужно заменить на противоположный. После этого удобно сгруппировать слагаемые с a², с a и числа.

1. Меняем знаки всех слагаемых во вторых скобках: 5a² − 3a + 2 − 2a² − a + 6.
2. Группируем подобные: (5a² − 2a²) + (−3a − a) + (2 + 6).
3. Выполняем действия с коэффициентами: 3a² − 4a + 8.

Ответ: 3a² − 4a + 8. Проверить знаки удобно отдельно: −(−6) превратилось в +6, а −(+a) — в −a.

Условие: найдите многочлен P, если P + (2x³ − x² + 4x − 7) = 5x³ + 3x² − 2x + 1. Чтобы оставить P отдельно, вычтем известный многочлен из обеих частей равенства. Получившуюся разность упростим, внимательно меняя знаки вычитаемого.

1. Выражаем неизвестный многочлен: P = (5x³ + 3x² − 2x + 1) − (2x³ − x² + 4x − 7).
2. Меняем знаки во вторых скобках: P = 5x³ + 3x² − 2x + 1 − 2x³ + x² − 4x + 7.
3. Группируем подобные: P = (5x³ − 2x³) + (3x² + x²) + (−2x − 4x) + (1 + 7).
4. Вычисляем коэффициенты: P = 3x³ + 4x² − 6x + 8.

Ответ: P = 3x³ + 4x² − 6x + 8. Подстановка этого многочлена в исходное равенство должна после сложения дать правую часть, поэтому её можно использовать для проверки.

Типичные ошибки

При вычитании иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Это происходит, если воспринимать минус как знак одного числа, а не как действие над всем многочленом; в итоге остальные слагаемые получают неверные знаки. Для проверки раскройте запись как сложение с противоположным многочленом и сверьте знак каждого члена.

Другая ошибка — складывать коэффициенты у неподобных одночленов, например считать, что 2x + 3y = 5xy. Такие слагаемые имеют разные буквенные части и не являются одинаковыми по виду. Перед объединением сравните переменные и их степени: должны совпадать и те и другие.

При приведении подобных одночленов можно по ошибке изменить буквенную часть или её степень, хотя меняются только коэффициенты. Например, 4x² − x² = 3x², а не 3x. Чтобы проверить себя, перепишите буквенную часть группы и оставьте её неизменной, выполняя действие только с числами перед ней.

После раскрытия скобок иногда забывают привести подобные или теряют одно из исходных слагаемых. Такое случается, когда слишком быстро переставляют и группируют члены. Запишите все слагаемые после раскрытия скобок, а затем проверьте каждое исходное слагаемое и его знак.

Связь с другими темами

Перед сложением и вычитанием многочленов нужно уметь записывать одночлены в стандартном виде, находить их коэффициенты и буквенные части, а также распознавать подобные одночлены. Эти умения нужны, чтобы правильно выбрать слагаемые для объединения. Дальше правила пригодятся при раскрытии скобок, упрощении алгебраических выражений и преобразовании уравнений. Чем аккуратнее выполнены такие преобразования, тем легче решать уравнение и проверять ответ.

Что запомнить

• Складывать и вычитать можно только подобные одночлены.
• При сложении многочленов знаки слагаемых в скобках не меняются.
• При вычитании многочлена меняют знак каждого его слагаемого.
• Подобные одночлены приводят, складывая или вычитая их коэффициенты.
• Неподобные слагаемые в результате остаются отдельно.
• Ответ записывают после приведения подобных слагаемых.