29. Умножение многочлена на многочлен

Определения и обозначения

Произведение многочленов — выражение, полученное умножением одного многочлена на другой. Например, (x + 2)(x + 3) — произведение многочленов x + 2 и x + 3. Это обозначение помогает записать действие умножения, даже если каждый множитель состоит из нескольких слагаемых.

Распределительное свойство умножения относительно сложения — правило, по которому множитель умножают на каждое слагаемое суммы: a(b + c) = ab + ac. Например, 2(x + 3) = 2x + 6. Оно позволяет раскрывать скобки, то есть заменять умножение на сумму сложением отдельных произведений.

Умножение многочлена на многочлен — действие, при котором каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго. Так, в выражении (x + 1)(x + 2) нужно учесть пары x и x, x и 2, 1 и x, 1 и 2. Это определение задаёт порядок работы и не позволяет пропустить часть слагаемых.

Как это устроено

Распределительное свойство работает и тогда, когда множителем является не одно число, а целый многочлен. Например, в выражении (a + b)(c + d) сначала можно считать, что на сумму c + d умножается каждый член a + b: a(c + d) + b(c + d). Затем снова применяем распределительное свойство и получаем ac + ad + bc + bd. Значит, умножение многочленов сводится к сложению произведений отдельных членов.

У двучлена два члена, поэтому каждый из них образует пару с каждым из двух членов второго двучлена: всего 2 · 2 = 4 произведения. Если в первом многочлене m членов, а во втором n, получится m · n пар. Например, у двух трёхчленов будет 3 · 3 = 9 произведений. Это число показывает, сколько пар нужно учесть до возможного объединения подобных слагаемых.

Каждое попарное произведение сначала считают как произведение одночленов. Числовые коэффициенты перемножают, а степени одинаковых букв складывают: 3x² · (−2x³) = −6x⁵. Здесь x² означает два множителя x, а x³ — ещё три, поэтому вместе получается x⁵. Если буквенные части различны, их просто записывают рядом: 2x · 3y = 6xy.

После раскрытия скобок все полученные слагаемые записывают в одну сумму, сохраняя знаки. Затем ищут подобные слагаемые: у них должны совпадать буквы и их показатели, например 2x²y и −5x²y. Коэффициенты таких слагаемых складывают, а буквенную часть оставляют прежней: 2x²y − 5x²y = −3x²y. В конце обычно упорядочивают члены многочлена, например сначала записывают члены со старшими степенями.

Готовый результат можно проверить подстановкой. Выбирают значение переменной, вычисляют исходное произведение и отдельно полученный многочлен. Если ответы совпали, это хороший признак того, что вычисления верны; для надёжности полезно проверить ещё одно значение. Такая проверка обнаруживает многие ошибки со знаками и коэффициентами, хотя сама по себе не заменяет соблюдение правила умножения.

Алгоритм умножения многочленов

Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала составьте все пары членов и только потом начинайте упрощать. В примерах действий приведена одна часть вычисления, а в полной записи нужно учесть каждую пару. Последний этап выполняйте после раскрытия всех скобок.

Разбор задач

Задача 1. Раскрыть скобки и упростить выражение: 3x(x + 2).

1. Множитель 3x стоит перед суммой x + 2, поэтому умножаем его на каждое слагаемое в скобках.
2. Выполняем умножение: 3x · x = 3x², а 3x · 2 = 6x.
3. Записываем сумму результатов: 3x² + 6x. Подобных слагаемых здесь нет, поэтому дальше объединять нечего.

Ответ: 3x² + 6x.

Задача 2. Раскрыть скобки и упростить выражение: (x + 3)(x + 5).

1. В первом двучлене два члена, и во втором тоже два, значит, нужно получить четыре попарных произведения.
2. Умножаем каждый член первого двучлена на каждый член второго: x · x = x², x · 5 = 5x, 3 · x = 3x, 3 · 5 = 15.
3. Складываем результаты: x² + 5x + 3x + 15. Слагаемые 5x и 3x подобны, поэтому складываем их коэффициенты.
4. Получаем упрощённый многочлен x² + 8x + 15.

Ответ: x² + 8x + 15.

Задача 3. Раскрыть скобки и упростить выражение: (2x − 3y + 1)(x + 2y − 4).

1. В первом многочлене три члена, во втором тоже три, поэтому составляем девять произведений. Следим за тем, что минус перед 3y и минус перед 4 входят в соответствующие члены.
2. Умножаем каждый член первого многочлена на второй: 2x(x + 2y − 4) = 2x² + 4xy − 8x; −3y(x + 2y − 4) = −3xy − 6y² + 12y.
3. Осталось умножить на второй многочлен член 1: 1(x + 2y − 4) = x + 2y − 4. Складываем все три полученные строки.
4. Получаем 2x² + 4xy − 8x − 3xy − 6y² + 12y + x + 2y − 4. Объединяем подобные слагаемые: 4xy − 3xy = xy, −8x + x = −7x, 12y + 2y = 14y.

Ответ: 2x² + xy − 6y² − 7x + 14y − 4.

Типичные ошибки

Иногда умножают только первые члены многочленов, например считают, что (x + 2)(x + 3) = x² + 6. Так происходит, если забыть, что множители — это суммы, к которым нужно применить распределительное свойство. Проверяйте себя подсчётом пар: у двух двучленов их четыре, а не одна.

При умножении одночленов могут перемножить показатели степеней: например, ошибочно записать x² · x³ = x⁶. Показатели не являются коэффициентами: они показывают число одинаковых множителей. Раскройте степени как повторное умножение или вспомните правило x² · x³ = x⁽²⁺³⁾ = x⁵.

Знаки иногда теряются или меняются неверно, особенно если в скобках есть отрицательные члены. Например, (−3y) · (−4) = 12y, потому что произведение двух отрицательных чисел положительное. Проверяйте знак каждого произведения отдельно по правилам умножения целых чисел, а не переносите его на всю строку без проверки.

Нельзя объединять слагаемые, если у них различаются буквенная часть или показатели: x и x² — не подобные, как и xy и x²y. Ошибку допускают, обращая внимание только на коэффициенты. Перед сложением сравните буквенную часть целиком; объединяйте только совпадающие члены, например 3xy и −xy.

Связь с другими темами

Перед умножением многочленов нужно знать распределительное свойство относительно сложения и вычитания, уметь умножать одночлены и приводить подобные слагаемые. Эти навыки используются на разных шагах: первый раскрывает скобки, второй помогает вычислять каждую пару, а третий завершает упрощение. Умножение многочленов пригодится при преобразовании выражений и решении уравнений. Позже оно поможет и при разложении многочлена на множители — действии, обратном умножению.

Что запомнить

• Каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго.
• При умножении одночленов коэффициенты перемножают.
• Показатели одинаковых буквенных множителей складывают.
• Знаки произведений определяют по правилам умножения целых чисел.
• После раскрытия скобок приводят подобные слагаемые.
• Результат можно проверить подстановкой чисел вместо переменных.