4.6. Подобные одночлены

Определения и обозначения

Одночлен стандартного вида — произведение числового коэффициента и степеней переменных, записанных с неотрицательными целыми показателями. Например, −4a²b³ записан в стандартном виде. Такая запись позволяет сразу увидеть коэффициент и буквенную часть.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель. В одночлене 7x² коэффициент равен 7, а в −ab коэффициент равен −1, хотя единица не написана. Коэффициент нужен, чтобы выполнять действия с подобными одночленами.

Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью, но, возможно, разными коэффициентами. Например, 3a²b и −5a²b подобны, потому что в обоих случаях буквенная часть — a²b. Именно такие слагаемые можно объединять.

Приведение подобных одночленов — замена суммы или разности подобных одночленов одним одночленом с той же буквенной частью. Например, 6x² − 2x² = 4x². Это действие сокращает выражение, не меняя его значения.

Как это устроено

При сравнении одночленов смотрят не на отдельные буквы, а на всю буквенную часть вместе с показателями степеней. В одночленах 2a²b и −7a²b переменные и их показатели совпадают, поэтому эти слагаемые подобны. Коэффициенты могут различаться, потому что они показывают лишь числовые множители одинаковых буквенных частей. Если хотя бы одна переменная отсутствует или её показатель другой, одночлены уже неподобны.

Перед проверкой подобия одночлены приводят к стандартному виду. Сначала перемножают числовые множители, затем объединяют степени одинаковых переменных по правилу xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ. Например, 2a · 3a²b = 6a³b. Только после такой записи можно надёжно сравнить буквенные части и не принять внешне похожие выражения за подобные.

Подобные одночлены складывают или вычитают по коэффициентам, сохраняя общую буквенную часть. Например, 4x²y + 3x²y = (4 + 3)x²y = 7x²y. Показатели степеней при этом не складывают: они описывают общую буквенную часть, а не числовые множители. При вычитании так же учитывают знак второго коэффициента.

Правило становится понятным из распределительного свойства умножения: 4x²y + 3x²y = (4 + 3)x²y. Общую буквенную часть x²y выносят за скобки, а внутри складывают только числа. Неподобные одночлены вынести с одной и той же буквенной частью нельзя. Поэтому x² + x³ или 2a + 5b оставляют в виде суммы, если других действий выполнить нельзя.

Подобные и неподобные одночлены

Сначала сравни буквенную часть и показатели степеней, а коэффициенты временно не учитывай. Если все буквы и показатели совпадают, сложи или вычти коэффициенты. Если совпадения нет, не пытайся записать результат одним одночленом.

Разбор задач

Задача 1

Из списка 3a²b, −5ab², 7a²b, 2ab², −a² нужно определить пары подобных одночленов. Сравним не только буквы, но и показатели степеней. Одночлен −a² имеет буквенную часть a² и не совпадает с двумя переменными в первых группах.

1. Сгруппируем 3a²b и 7a²b: буквенная часть у них одинаковая, a²b.
2. Сгруппируем −5ab² и 2ab²: в обоих одночленах буквенная часть ab².
3. Одночлен −a² не имеет пары, потому что в нём нет переменной b.

Ответ: пары подобных одночленов — 3a²b и 7a²b; −5ab² и 2ab².

Задача 2

Упростим выражение 4x²y − 7xy² + 3x²y + 5xy². Здесь уже видны две группы с одинаковыми буквенными частями, но знаки перед слагаемыми нужно учитывать. Сначала поставим рядом подобные слагаемые, затем выполним действия с их коэффициентами.

1. Сгруппируем: (4x²y + 3x²y) + (−7xy² + 5xy²).
2. Для первой группы получим (4 + 3)x²y = 7x²y.
3. Для второй группы получим (−7 + 5)xy² = −2xy².
4. Объединим результаты и запишем их в стандартном виде: 7x²y − 2xy².

Ответ: 7x²y − 2xy².

Задача 3

Упростим 2a(3a²b − 4ab²) − 5a³b + 6a²b² и найдём значение при a = 1, b = 2. Сначала раскроем скобки умножением каждого слагаемого на 2a. После этого появятся одночлены, которые можно сравнить по буквенной части.

1. Раскроем скобки: 2a · 3a²b = 6a³b, а 2a · (−4ab²) = −8a²b².
2. Получим 6a³b − 8a²b² − 5a³b + 6a²b².
3. Соберём подобные: (6 − 5)a³b + (−8 + 6)a²b² = a³b − 2a²b².
4. Подставим значения: 1³ · 2 − 2 · 1² · 2² = 2 − 8 = −6.

Ответ: упрощённое выражение a³b − 2a²b²; его значение равно −6.

Типичные ошибки

Считают одночлены подобными только из-за одинаковых букв. Ошибка возникает, если не сравнить показатели: ab и ab² имеют разные буквенные части. Проверяй каждую переменную и её показатель по отдельности.

При сложении изменяют буквенную часть или складывают показатели степеней вместо коэффициентов. Например, 2x² + 3x² = 5x², а не 5x⁴. После действия перечитай результат: буквы и показатели должны остаться такими же.

Теряют знак коэффициента при вычитании или неверно складывают отрицательные числа. В выражении 4a² − 7a² коэффициенты равны 4 и −7, поэтому результат — −3a². Полезно заменить вычитание сложением отрицательного числа.

Пытаются объединить неподобные одночлены, например записывают x² + x³ как один одночлен. Так делать нельзя, потому что показатели различаются. Если общей буквенной части нет, оставь слагаемые в сумме и проверь, не осталось ли других действий.

Связь с другими темами

До этой темы нужны понятия одночлена, коэффициента, степени и стандартного вида, а также правила действий со степенями. Позже приведение подобных слагаемых понадобится при упрощении многочленов, раскрытии скобок и преобразовании выражений. Связь с арифметикой основана на распределительном свойстве умножения: общую буквенную часть выносят за скобки, а числовые коэффициенты складывают или вычитают.

Что запомнить

• Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть.
• Коэффициенты подобных одночленов могут быть разными.
• Перед сравнением одночлены приводят к стандартному виду.
• При сложении подобных одночленов складывают только коэффициенты.
• Буквенную часть подобных одночленов сохраняют без изменения.
• Неподобные одночлены нельзя объединить в один одночлен.
• Результат приведения подобных слагаемых записывают в стандартном виде.