39. Взаимное расположение графиков линейных функций

Определения и обозначения

Угловой коэффициент — коэффициент k в формуле линейной функции y = kx + b, который определяет наклон её графика. Чем иначе значение k, тем иначе прямая направлена на координатной плоскости. Это число удобно сравнивать, чтобы понять, одинаково ли наклонены два графика.

Параллельные прямые — прямые, которые не пересекаются. Графики функций с разными свободными членами и одинаковыми угловыми коэффициентами параллельны. Это определение помогает выяснить, есть ли у графиков общие точки.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие одну общую точку. Графики линейных функций с различными угловыми коэффициентами пересекаются. По этому признаку можно понять, что у функций есть одно общее значение при некотором x.

Совпадающие прямые — прямые, у которых общими являются все точки. Графики совпадают, когда равны и угловые коэффициенты, и свободные члены. Значит, функции задают одну и ту же прямую, даже если записаны как разные выражения.

Как это устроено

В формуле y = kx + b число k определяет наклон, потому что при увеличении x на единицу значение y изменяется на k. Если k положительное, значения y растут, если отрицательное — уменьшаются; при k = 0 график горизонтален. Число b задаёт значение y при x = 0, поэтому график проходит через точку (0; b). По этим двум особенностям формулы описывают положение прямой.

Когда угловые коэффициенты двух функций равны, при одинаковом изменении x значения обеих функций изменяются на одно и то же число. Поэтому прямые имеют одинаковое направление и не могут пересечься только в одной точке: если бы они пересеклись, дальше они шли бы вместе. При разных b они проходят через разные точки на оси y, значит, это две параллельные прямые. Если же b также равны, обе функции задают одну и ту же прямую.

Если угловые коэффициенты различны, наклоны прямых неодинаковы. По мере изменения x расстояние между их значениями y меняется, поэтому прямые встречаются в одной точке. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки: через две точки проходит только одна прямая. Именно поэтому при разных k графики пересекаются ровно один раз.

Чтобы найти общую точку, нужно найти такое значение x, при котором обе функции дают одинаковый результат y. Для этого выражения для y приравнивают: k₁x + b₁ = k₂x + b₂. Решение полученного линейного уравнения даёт абсциссу точки пересечения, то есть её координату x. Затем найденное число подставляют в формулу любой функции, чтобы вычислить ординату y.

Построение графиков тоже позволяет увидеть, пересекаются ли прямые и где это происходит. Но по рисунку бывает трудно точно определить координаты точки, особенно если она не попадает в узел сетки. Сравнение коэффициентов сразу показывает вид взаимного расположения, а решение уравнения даёт точные координаты пересечения. Поэтому формулы обычно надёжнее рисунка для точного ответа.

Взаимное расположение графиков y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂

Сначала сравните угловые коэффициенты, а затем, если они равны, сравните свободные члены. Если k различаются, проверять b для определения вида расположения не требуется: будет одна точка пересечения.

Разбор задач

1. Параллельные графики

Задача. Определите, как расположены графики y = 3x + 2 и y = 3x − 4. Чтобы выбрать правило, выделим в каждой формуле коэффициент при x и свободный член. После этого сравним сначала наклоны, а затем точки пересечения с осью y.

1. В первой функции k₁ = 3 и b₁ = 2, во второй k₂ = 3 и b₂ = −4.
2. Угловые коэффициенты равны, поэтому наклон прямых одинаковый.
3. Свободные члены различны, значит, прямые проходят через разные точки оси y и не совпадают.

Ответ: графики параллельны, общих точек нет.

2. Совпадающие графики

Задача. Выясните, совпадают ли графики y = −2x + 5 и y = −2x + 5. Недостаточно заметить только одинаковый наклон: для совпадения нужно проверить обе части записи. Сравнение формул покажет, задают ли они одну и ту же прямую.

1. У обеих функций угловой коэффициент равен −2.
2. У обеих функций свободный член равен 5.
3. Коэффициенты при x и свободные члены одинаковы, поэтому при любом x значения функций равны.

Ответ: графики совпадают, у них бесконечно много общих точек.

3. Точка пересечения

Задача. Найдите координаты точки пересечения графиков y = 2x − 1 и y = −x + 5. Здесь угловые коэффициенты разные, значит, пересечение есть и оно одно. Чтобы найти его точно, приравняем значения функций, а затем вычислим обе координаты.

1. Составим уравнение 2x − 1 = −x + 5: в точке пересечения обе формулы должны давать один и тот же y.
2. Перенесём слагаемые: 2x + x = 5 + 1, откуда 3x = 6 и x = 2.
3. Подставим x = 2 в первую функцию: y = 2 · 2 − 1 = 3.

Ответ: координаты точки пересечения — (2; 3). Подстановка x = 2 во вторую функцию также даёт y = 3, поэтому найденная точка подходит обоим графикам.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что равные угловые коэффициенты означают совпадение графиков. Так думают, потому что обе прямые имеют одинаковый наклон, но их положения могут отличаться. Сравните также свободные члены: если они разные, прямые параллельны.

Ошибка: путать угловой коэффициент со свободным членом. Оба числа стоят в формуле y = kx + b, поэтому их роли иногда смешивают. Для самопроверки вспомните: k задаёт наклон, а b — значение y при x = 0 и пересечение с осью y.

Ошибка: при поиске точки пересечения приравнивать коэффициенты функций. Коэффициенты помогают определить взаимное расположение, но общую точку находят по равенству значений функций. Запишите k₁x + b₁ = k₂x + b₂ и проверьте, что неизвестной в этом уравнении является x.

Ошибка: найти только абсциссу x и остановиться. Решение уравнения пересечения даёт лишь первую координату, поэтому ответ ещё не является полной парой координат. Подставьте x в одну из функций, найдите y и запишите точку в виде (x; y).

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужно уметь записывать линейную функцию в виде y = kx + b и строить её по точкам. Это позволяет понимать, какой коэффициент отвечает за наклон, а какой — за пересечение с осью y. При нахождении точки пересечения используется умение решать линейные уравнения. Позже такой способ пригодится при решении систем линейных уравнений: их решения соответствуют общим точкам графиков.

Что запомнить

• График линейной функции y = kx + b — прямая.
• Коэффициент k задаёт наклон прямой.
• При равных k графики параллельны или совпадают.
• При равных k и разных b графики параллельны.
• При равных k и b графики совпадают.
• При разных k графики пересекаются в одной точке.
• Координаты точки пересечения находят, приравнивая значения функций.