"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Степенная функция — это зависимость, заданная формулой y = xⁿ, где переменная x возводится в натуральную степень n. По показателю можно предсказать, какие значения принимает функция и как выглядит её график. Чётная степень даёт неотрицательные значения и симметрию относительно оси y, а нечётная — симметрию относительно начала координат. Эти свойства помогают строить графики и сравнивать функции без вычисления каждого значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенная функция — функция вида y = xⁿ, где x — переменная, а n — показатель степени. Переменная может принимать разные числа, и для каждого из них формула задаёт значение y. Такая запись помогает изучать, как меняется результат при изменении x.
Натуральный показатель — число n из натурального ряда, которое показывает, в какую степень возводят переменную. Например, в записи y = x⁴ показатель равен 4, поэтому x нужно умножить само на себя четыре раза. Показатель нужен, чтобы определить и вычислить правило зависимости y от x.
Чётная функция — функция, для которой при любом допустимом x выполняется равенство f(−x) = f(x). Для y = xⁿ при чётном n имеем (−x)ⁿ = xⁿ, потому что множители −x можно объединить в пары, и каждая пара даёт положительное число. Это определение позволяет установить симметрию графика.
Нечётная функция — функция, для которой f(−x) = −f(x). Если n нечётное, то в произведении множителей −x остаётся один минус, поэтому (−x)ⁿ = −xⁿ. Проверка этого равенства показывает, что значения функции при противоположных аргументах отличаются только знаком.
Формула y = xⁿ задаёт функцию при каждом натуральном n, потому что возведение числа в заданную степень всегда даёт единственный результат. Например, при x = 2 и n = 3 значение y равно 2 · 2 · 2 = 8. Если выбрать другое x, получится своё значение, но двум разным результатам при одном и том же x взяться неоткуда.
Чтобы определить чётность функции, вместо x подставляют −x и упрощают выражение. В степени с чётным показателем знаки минус попарно перемножаются и исчезают: (−x)⁴ = x⁴. При нечётном показателе один минус остаётся, например (−x)³ = −x³, поэтому функция меняет знак. Так правило вычисления степени приводит к свойству всей функции.
При x = 0 формула даёт 0ⁿ = 0, а при x = 1 — 1ⁿ = 1. Значит, какой бы натуральный показатель мы ни выбрали, график содержит точки (0; 0) и (1; 1). Это удобно для построения: две точки уже известны заранее, остаётся вычислить другие значения и соединить их плавной линией.
При чётном показателе степень любого числа неотрицательна: отрицательные множители объединяются в пары, а положительные и ноль также не дают отрицательного результата. Поэтому график не опускается ниже оси x и симметричен относительно оси y: значения при x и −x равны. При нечётном показателе знак результата совпадает со знаком x, а противоположные аргументы дают противоположные значения; поэтому график симметричен относительно начала координат и проходит по обе стороны от оси x.
Форма графика зависит от того, как меняется степень при движении вдоль оси x. Для чётного показателя при x < 0 значения уменьшаются к нулю, а после x = 0 снова увеличиваются, поэтому в начале координат достигается минимум. Для нечётного показателя увеличение x приводит к увеличению xⁿ на всей числовой прямой. При этом на отрицательных x степень остаётся отрицательной, а на положительных — положительной.
| Свойство | n — чётное натуральное число | n — нечётное натуральное число |
|---|---|---|
| Область определения | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений | [0; +∞) | Все действительные числа |
| Чётность функции и симметрия графика | Чётная; симметрия относительно оси y | Нечётная; симметрия относительно начала координат |
| Поведение при увеличении x | Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0 | Возрастает на всей числовой прямой |
| Наименьшее и наибольшее значения | Наименьшее — 0 при x = 0; наибольшего нет | Наименьшего и наибольшего нет |
Сначала найдите, чётный показатель или нечётный: от этого зависят симметрия графика и множество значений. Затем используйте строку о поведении функции, чтобы понять, как строить график и где он поднимается или опускается. Обратите внимание: у нечётной функции нет ни наименьшего, ни наибольшего значения, потому что её значения не ограничены сверху и снизу.
Задача 1. Для функции y = x⁴ вычислите значения при x = −2, −1, 0, 1, 2 и определите, какие точки принадлежат графику. Чтобы найти точки, нужно подставить каждый аргумент в формулу и записать пару (x; y). Отрицательные аргументы заключаем в скобки, чтобы не потерять знак.
Подставим x = −2: y = (−2)⁴ = 16. Получаем точку (−2; 16).
Для x = −1 имеем y = (−1)⁴ = 1, а для x = 0 — y = 0⁴ = 0. Это точки (−1; 1) и (0; 0).
При x = 1 получается 1⁴ = 1, а при x = 2 — 2⁴ = 16. Получаем точки (1; 1) и (2; 16), симметричные первым двум относительно оси y.
Ответ: значения равны 16, 1, 0, 1, 16; графику принадлежат точки (−2; 16), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 16).
Задача 2. Для функции y = x³ заполните таблицу значений при x = −2, −1, 0, 1, 2 и опишите симметрию графика. Здесь важно сохранить знак отрицательных аргументов: при нечётной степени результат отрицателен. Затем проверим, связаны ли значения при x и −x равенством f(−x) = −f(x).
Вычислим значения для отрицательных аргументов: (−2)³ = −8 и (−1)³ = −1. При x = 0 получаем 0³ = 0.
Для положительных аргументов: 1³ = 1 и 2³ = 8. Значения для противоположных аргументов отличаются только знаком: −8 и 8, −1 и 1.
Следовательно, f(−x) = −f(x). По определению функция нечётная, а её график симметричен относительно начала координат.
Ответ: значения равны −8, −1, 0, 1, 8; график симметричен относительно начала координат.
Задача 3. Сравните y = x² и y = x³ при x = −2, −1, 0, 1, 2; укажите промежутки, где одна функция принимает большие значения. Сначала вычислим значения и сравним их, а затем разделим числовую прямую на промежутки, поскольку знак и величина x влияют на результат сравнения степеней.
При x = −2 значения равны 4 и −8, при x = −1 — 1 и −1. Здесь x² больше x³. При x = 0 обе функции равны нулю, а при x = 1 обе равны единице.
При x = 2 получаем 4 и 8, поэтому x³ больше x². Для промежутка 0 < x < 1 квадрат больше куба: если число между нулём и единицей умножить на себя ещё раз, результат станет меньше.
При x < 0 куб отрицателен, а квадрат положителен, поэтому x² > x³. При x > 1 дополнительное умножение на число больше единицы увеличивает результат, поэтому x³ > x².
Ответ: x² > x³ при x < 0 и при 0 < x < 1; значения равны при x = 0 и x = 1; x³ > x² при x > 1.
Ошибка — считать, что xⁿ всегда неотрицательно. Так бывает только при чётном n; например, (−2)³ = −8. Ошибку допускают, перенося правило чётной степени на все степени, поэтому для проверки подставьте отрицательное число и посмотрите на чётность показателя.
Ошибка — называть y = xⁿ чётной или нечётной, не проверив показатель. Тип функции определяется подстановкой −x: сравните (−x)ⁿ с xⁿ и −xⁿ. Если равенство не проверено, легко перепутать свойства чётной и нечётной степеней.
Ошибка — путать симметрию относительно оси y и относительно начала координат. Первая означает одинаковые значения при x и −x, а вторая — противоположные значения; проверка по паре точек помогает различить их. Сопоставьте, например, значения функции при x = 1 и x = −1.
Ошибка — терять скобки в выражении (−a)ⁿ и полагать, что результат всегда отрицательный. Знак зависит от показателя: при чётном n результат положительный или нулевой, при нечётном он сохраняет знак числа a со знаком минус перед ним. Перед вычислением запишите основание целиком в скобках и проверьте чётность n.
Для изучения степенных функций нужно уметь возводить числа в натуральную степень и учитывать знак результата при отрицательном основании. Ещё понадобится строить график по таблице значений: вычислить несколько пар (x; y), отметить их и провести плавную линию с учётом симметрии. Эти навыки пригодятся при дальнейшем изучении графиков, преобразовании выражений и решении уравнений.
Почему степень с чётным показателем не бывает отрицательной?
При чётном показателе отрицательное число перемножается само на себя чётное число раз, поэтому минусы попарно дают плюс. Ноль или положительное число в такой степени тоже не дают отрицательного результата.
Как по формуле y = xⁿ определить, является ли функция чётной или нечётной?
Замените x на −x и посмотрите на результат. Если n чётное, то (−x)ⁿ = xⁿ и функция чётная; если n нечётное, то (−x)ⁿ = −xⁿ и функция нечётная.
Почему график чётной степенной функции симметричен относительно оси y?
У противоположных аргументов x и −x одинаковые значения функции: f(−x) = f(x). Поэтому точкам графика по разные стороны от оси y соответствуют одинаковые высоты, и они являются зеркальными отражениями.
Через какие точки проходят графики всех функций y = xⁿ?
Все такие графики проходят через точки (0; 0) и (1; 1). При x = 0 значение равно 0ⁿ = 0, а при x = 1 получается 1ⁿ = 1.
Чем график функции с нечётным показателем отличается от графика функции с чётным показателем?
При чётном показателе значения неотрицательны, а график симметричен относительно оси y и имеет минимум в точке (0; 0). При нечётном показателе функция принимает значения обоих знаков, симметрична относительно начала координат и возрастает на всей числовой прямой.
§ 16. Степенная функция с натуральным показателем
