"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Функция y = x² каждому числу x ставит в соответствие его квадрат. Её график — парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси y. Квадрат не бывает отрицательным: функция убывает слева от нуля и возрастает справа. Эти свойства помогают строить график и понимать другие степенные функции y = xⁿ с чётным показателем: они также принимают только неотрицательные значения и симметричны относительно оси y.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = x² — правило, по которому каждому значению x сопоставляется квадрат этого числа. Например, при x = 3 получаем y = 9, а при x = −3 также y = 9. Это правило позволяет исследовать зависимость двух величин и строить её график.
Парабола — график функции y = x². Она симметрична относительно оси y и имеет вершину в начале координат, то есть в точке (0; 0). Знание формы параболы помогает быстрее строить график и проверять, правильно ли нанесены точки.
Степенная функция — функция вида y = xⁿ, где n — натуральное число. Показатель n показывает, сколько раз число x умножается само на себя. Это общее обозначение объединяет функции y = x², y = x³, y = x⁴ и другие.
Степенная функция с чётным показателем — функция y = xⁿ, где n — чётное натуральное число. К таким функциям относятся y = x², y = x⁴ и y = x⁶. Для них действуют общие свойства, связанные с чётной степенью и симметрией.
При построении графика y = x² удобно составить таблицу значений. Квадраты противоположных чисел одинаковы: например, (−2)² = 2² = 4. Поэтому достаточно вычислить значения для неотрицательных x, а затем нанести такие же точки слева от оси y.
График y = x² имеет вершину (0; 0), потому что квадрат любого числа неотрицателен. При x = 0 получается y = 0, а это самое маленькое возможное значение. Для всех остальных x квадрат положителен, поэтому график не опускается ниже оси x.
Функция y = x² убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Слева от нуля при движении к нулю числа по модулю становятся меньше, значит, уменьшаются и их квадраты. Справа от нуля удаление от нуля увеличивает число и его квадрат.
Если показатель n чётный, его можно записать как 2k, где k — натуральное число. Тогда xⁿ = x²ᵏ, а результат не может быть отрицательным; кроме того, смена знака x не меняет результата: (−x)ⁿ = xⁿ. Поэтому точки графика для x и −x имеют одинаковую высоту.
График y = xⁿ при чётном n проходит через начало координат, поскольку 0ⁿ = 0. Слева от нуля функция убывает, а справа возрастает по той же причине, что и y = x²: решающим является расстояние числа от нуля. При больших по модулю x значения степени быстро увеличиваются.
В таблице собраны свойства сначала конкретной функции y = x², а затем всего класса функций с чётным показателем. Чтобы использовать таблицу, сначала определите показатель степени и проверьте, является ли он чётным. Интервалы убывания и возрастания читаются слева направо по числовой оси.
| Свойство | y = x² | y = xⁿ, n — чётное натуральное число |
|---|---|---|
| Область определения | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений | y ≥ 0 | y ≥ 0 |
| Симметрия графика | Относительно оси y | Относительно оси y |
| Наименьшее значение | 0 при x = 0 | 0 при x = 0 |
| Промежуток убывания | (−∞; 0] | (−∞; 0] |
| Промежуток возрастания | [0; +∞) | [0; +∞) |
Постройте график функции y = x², используя значения x = −2, −1, 0, 1, 2. Сначала найдём соответствующие значения y. Затем отметим полученные точки и соединим их плавной линией.
Ответ: получается парабола с вершиной (0; 0), проходящая через указанные пять точек. Её левая и правая ветви имеют одинаковую форму. График не имеет точек ниже оси x.
Сравните значения функции y = x² при x = −3 и x = 3. Объяснение должно показывать не только результат, но и причину равенства. Для этого используем свойство квадратов противоположных чисел.
Ответ: значения равны: y(−3) = y(3) = 9. Это происходит потому, что числа −3 и 3 противоположны, а их квадраты совпадают. На графике им соответствуют точки на одной горизонтали.
Сравните значения y = x⁴ при x = 1 и x = 2, а затем укажите промежутки убывания и возрастания. Сначала вычислим степени, а затем применим свойство степенной функции с чётным показателем. Показатель 4 чётный, поэтому для неё действуют общие правила.
Ответ: y(1) = 1, y(2) = 16, поэтому y(1) < y(2). Функция y = x⁴ убывает слева от нуля и возрастает справа. Её наименьшее значение равно 0 при x = 0.
Ошибка 1. Считать, что при отрицательном x значение x² отрицательно. Так думают из-за знака числа, но квадрат означает умножение числа на само себя: (−4)² = (−4) · (−4) = 16. Проверяйте знак результата: квадрат всегда неотрицателен.
Ошибка 2. Рисовать график y = x² несимметричным относительно оси y. Ошибка появляется, если отдельно вычислять точки и допустить арифметическую неточность. Проверьте пары: значения при x и −x должны совпадать.
Ошибка 3. Указывать отрицательные значения функции y = x². Иногда отрицательные числа ошибочно переносят из столбца x в столбец y. Подставьте число в формулу и возведите его в квадрат: результат не может быть меньше нуля.
Ошибка 4. Считать функцию y = x² возрастающей на всей числовой прямой. Слева от нуля при движении вправо значения уменьшаются, например 9, 4, 1, 0. Разделите числовую ось точкой x = 0 и проверяйте изменение функции на каждом промежутке отдельно.
До изучения темы нужно уметь возводить числа в квадрат и вычислять степени с натуральным показателем. Эти действия нужны для заполнения таблицы значений и проверки вычислений. Ошибки в знаках особенно важно замечать при работе с отрицательными числами.
Тема опирается на понятие функции, координатную плоскость и построение графика по таблице значений. Нужно уметь находить координаты точки и отмечать их на осях. Симметрия помогает сократить число вычислений.
Свойства степенных функций пригодятся при изучении графиков функций, а также при решении уравнений и неравенств. По графику можно определять, где функция принимает заданные значения. Знание промежутков возрастания и убывания помогает сравнивать значения без подробных вычислений.
Почему график функции y = x² называется параболой?
Парабола — это название линии, которая получается на координатной плоскости при построении зависимости y = x². Её форма напоминает плавную чашу: от вершины она поднимается в обе стороны.
Почему график y = x² симметричен относительно оси y?
У противоположных чисел одинаковые квадраты: (−x)² = x². Поэтому точки с координатами (x; x²) и (−x; x²) находятся на одинаковом расстоянии от оси y.
Может ли значение функции y = x² быть отрицательным?
Нет, не может. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому y = x² всегда удовлетворяет неравенству y ≥ 0.
На каких промежутках функция y = x² убывает и возрастает?
Функция убывает на промежутке x ≤ 0, то есть при движении к нулю слева. На промежутке x ≥ 0 она возрастает, потому что при удалении от нуля квадраты увеличиваются.
Чем степенная функция с чётным показателем похожа на функцию y = x²?
Для y = xⁿ при чётном n значения неотрицательны, а противоположным x соответствуют одинаковые значения. Её график симметричен относительно оси y, убывает слева от нуля и возрастает справа.
40. Функция y = x^2. Степенная функция с четным показателем
