"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Функция y = x³ каждому числу x ставит в соответствие его куб. Её график — плавная кривая, проходящая через начало координат: при отрицательных x значения функции отрицательны, при положительных — положительны. График возрастает и симметричен относительно начала координат. Эти свойства связаны с тем, что куб отрицательного числа отрицателен, а противоположные аргументы дают противоположные значения функции. Такие же особенности есть у степенных функций с любым нечётным натуральным показателем.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция y = x³ — соответствие, при котором каждому числу x ставится в соответствие его куб. Например, числу 2 соответствует 8, потому что 2³ = 8, а числу −2 — число −8. Буква x обозначает аргумент, то есть число, которое мы выбираем, а y — значение функции. Такое обозначение помогает находить результат для любого выбранного x.
Степенная функция — функция вида y = xⁿ, где n — натуральное число, то есть 1, 2, 3 и так далее. Показатель n показывает, сколько одинаковых множителей x нужно перемножить. Например, при n = 3 получаем y = x³. Это понятие позволяет говорить об общей группе функций, а не только об одном примере.
Нечётный показатель — показатель степени, который не делится на 2: например, 1, 3 или 5. При таком показателе противоположные значения аргумента дают противоположные значения функции: для куба это видно из равенства (−x)³ = −x³. Это правило помогает предсказывать знак результата и замечать симметрию графика.
График функции y = x³ — множество точек координатной плоскости с координатами (x; x³). В каждой такой точке первая координата — выбранное значение x, а вторая — результат возведения его в куб. Например, точка (2; 8) принадлежит графику, потому что 2³ = 8. Определение помогает отличать точки графика от любых других точек плоскости.
Чтобы построить график y = x³, сначала выбирают несколько значений x, вычисляют для каждого куб и записывают полученные пары. Например, при x = −2, −1, 0, 1, 2 значения y равны −8, −1, 0, 1, 8. Каждая пара задаёт точку, которую можно отметить на координатной плоскости. Чем больше точек и чем равномернее они распределены, тем легче увидеть форму графика.
График проходит через начало координат, потому что при x = 0 значение функции равно 0³ = 0. Если x положительный, произведение трёх одинаковых положительных множителей положительно, поэтому и x³ положительно. Если x отрицательный, произведение трёх отрицательных множителей отрицательно. Так можно определить, в каких частях плоскости располагаются точки графика, не строя каждую из них.
Равенство (−x)³ = −x³ следует из того, что при умножении трёх множителей −x знак минус остаётся: (−x) · (−x) · (−x) = −x³. Поэтому точкам с координатами (x; y) соответствуют точки (−x; −y). Они расположены по разные стороны от начала координат на одной прямой, и начало координат оказывается серединой отрезка между ними. Так возникает симметрия графика относительно начала координат.
Функция y = x³ возрастает: если аргумент становится больше, значение его куба тоже становится больше. Например, при переходе от x = −2 к x = −1 значение меняется от −8 к −1, а затем при переходе от −1 к 0 — от −1 к 0. То, что числа остаются отрицательными слева от нуля, не мешает возрастанию: −1 больше, чем −8. На графике это видно как подъём кривой слева направо.
Для y = xⁿ с нечётным натуральным показателем действуют похожие правила: при x = 0 значение равно нулю, а противоположным аргументам соответствуют противоположные значения. Это происходит потому, что нечётное число отрицательных множителей даёт отрицательное произведение. При больших по модулю x произведение многих множителей с модулем больше единицы быстро становится большим по модулю. Поэтому график уходит вниз при больших отрицательных x и вверх при больших положительных x.
| Свойство | y = x³ | y = xⁿ, n — нечётное натуральное число |
|---|---|---|
| Область определения | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Множество значений | Все действительные числа | Все действительные числа |
| Значение при x = 0 | 0 | 0 |
| Симметрия графика | Относительно начала координат | Относительно начала координат |
| Поведение при увеличении x | Функция возрастает | Функция возрастает |
| Знак функции при x > 0 и x < 0 | При x > 0 значение положительно, при x < 0 — отрицательно | При x > 0 значение положительно, при x < 0 — отрицательно |
Сравнивайте строки, чтобы быстро увидеть, какие свойства общие у кубической функции и всех степенных функций с нечётным показателем. Например, строки о значении при x = 0 и о симметрии помогают проверить построенный график. Таблица описывает поведение функций при нечётном натуральном показателе, а не при любом показателе.
Задача 1. Составьте таблицу значений функции y = x³ для x = −2, −1, 0, 1, 2 и постройте график.
Для каждого заданного x вычислим куб. Важно возводить в степень всё число, включая знак: (−2)³ = −8, а не 8. Для остальных аргументов получаем (−1)³ = −1, 0³ = 0, 1³ = 1 и 2³ = 8.
Запишем значения в таблицу: при x, равном −2, −1, 0, 1, 2, значения y равны −8, −1, 0, 1, 8. Полученные пары координат — (−2; −8), (−1; −1), (0; 0), (1; 1), (2; 8). Так абсцисса каждой точки совпадает с аргументом, а ордината — с вычисленным кубом.
Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. Расположим точки симметрично относительно начала координат: например, точки (−2; −8) и (2; 8) соответствуют друг другу. Ответ: таблица значений составлена, график проходит через указанные пять точек.
Задача 2. Сравните значения функции y = x³ при x = −3 и x = 3. Объясните результат с помощью графика.
Подставим оба значения в формулу: при x = −3 получаем y = (−3)³ = −27, а при x = 3 получаем y = 3³ = 27. Знаки результатов разные, но модули одинаковые. Значит, значение при −3 меньше значения при 3.
Проверим, почему так происходит. По правилу куба противоположного числа (−x)³ = −x³, поэтому при смене знака аргумента знак значения функции тоже меняется. Это правило объясняет полученные числа −27 и 27.
На графике точкам (−3; −27) и (3; 27) соответствует симметричное расположение относительно начала координат. Одна точка находится в третьей четверти, другая — в первой. Ответ: −27 < 27; значения противоположны из-за симметрии графика.
Задача 3. Решите графически уравнение x³ = 8 и проверьте ответ вычислением.
Графически уравнение означает, что нужно найти на графике y = x³ точку, ордината которой равна 8. Мысленно проведём горизонтальную линию y = 8 и найдём место её пересечения с кривой. Абсцисса точки пересечения и будет решением.
По графику видно, что ординате 8 соответствует x = 2: точка с координатами (2; 8) принадлежит графику. Проверим результат подстановкой: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Значит, найденная абсцисса действительно удовлетворяет уравнению.
Других точек пересечения нет, поскольку функция y = x³ возрастает: одному значению функции соответствует только одно значение аргумента. Ответ: x = 2.
Ошибка: считать, что (−x)³ = x³. Так могут подумать, если не учитывать знак основания или запомнить правило для чётной степени: при умножении трёх отрицательных множителей минус остаётся, поэтому (−x)³ = −x³. Проверьте себя на числе: (−2)³ = −8, тогда как (−2)² = 4. Чётная и нечётная степени ведут себя по-разному.
Ошибка: путать значение функции с аргументом. В точке (x; y) абсцисса — это аргумент, а ордината — значение функции, поэтому для графика y = x³ должно выполняться y = x³. Например, точка (2; 8) подходит, а (8; 2) — нет. Проверяйте координаты подстановкой первой координаты в формулу.
Ошибка: соединять отмеченные точки ломаной. Несколько точек показывают лишь отдельные значения функции, а между ними график не делает резких поворотов: функция y = x³ задаётся выражением, которое меняется плавно. Поэтому точки соединяют плавной кривой, а не отрезками. Проверьте эскиз: он должен плавно проходить через начало координат и отмеченные точки.
Ошибка: считать, что график симметричен относительно оси y. Такая симметрия означала бы, что значения при x и −x совпадают, но для куба они противоположны. Например, при x = 1 получаем 1, а при x = −1 — −1. Чтобы проверить симметрию, используйте равенство (−x)³ = −x³: оно указывает на симметрию относительно начала координат.
Для изучения функции y = x³ нужно уметь возводить в степень положительные и отрицательные числа, а также отмечать точки по координатам. Особенно внимательно следите за знаком отрицательного основания: при нечётном показателе результат отрицателен. Тема опирается на понятия функции, аргумента и значения функции. Чтение графиков помогает находить значения и решать уравнения, а свойства степенных функций пригодятся при дальнейшем изучении функций и уравнений.
Почему график функции y = x³ проходит через начало координат?
Начало координат имеет координаты (0; 0). При x = 0 получаем y = 0³ = 0, поэтому эта точка принадлежит графику.
Как определить значение y, если известно x?
Нужно возвести заданное число x в третью степень: y = x³. Например, если x = −2, то y = (−2)³ = −8.
Почему график y = x³ симметричен относительно начала координат?
Для противоположных аргументов значения функции тоже противоположны: (−x)³ = −x³. Поэтому вместе с точкой (x; y) на графике есть точка (−x; −y), расположенная симметрично относительно начала координат.
Как понять по графику, что функция возрастает?
Если двигаться по графику слева направо, он поднимается вверх. Значит, при увеличении x значение y тоже увеличивается.
Чем графики степенных функций с чётным и нечётным показателями отличаются по симметрии?
У функции с нечётным показателем график симметричен относительно начала координат: противоположным аргументам соответствуют противоположные значения. У функции с чётным показателем значения при x и −x одинаковы, поэтому её график симметричен относительно оси y.
41. Функция y = x^3. Степенная функция с нечетным показателем
