§ 17. Линейные уравнения с двумя переменными

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа; коэффициенты a и b не могут одновременно равняться нулю. Например, 3x + y = 7 имеет такой вид. Эта запись задаёт условие, которому должны одновременно удовлетворять значения обеих переменных.

Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, при подстановке которой получается верное числовое равенство. Например, для уравнения 3x + y = 7 пара (2; 1) является решением, потому что 3 · 2 + 1 = 7. Решение записывают именно парой, чтобы было понятно, какое число относится к x, а какое — к y.

График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых образуют решения уравнения. Например, точка (2; 1) лежит на графике 3x + y = 7, поскольку её координаты подходят уравнению. График помогает увидеть все решения вместе, а не перечислять их по одному.

Как это устроено

В уравнении ax + by = c значение x связано со значением y: если выбрать одну переменную, для другой обычно можно подобрать значение так, чтобы равенство сохранилось. Например, в 2x + y = 4 при x = 1 необходимо взять y = 2. Поэтому решениями становятся пары чисел, а не отдельные значения x или y.

Проверяя пару, нужно подставить в уравнение оба числа на свои места: первое вместо x, второе вместо y. Это важно, потому что переменные могут иметь разные коэффициенты, и перестановка чисел изменит вычисления. Затем выполняют действия и сравнивают получившиеся части равенства: только равенство подтверждает, что пара подходит.

Если коэффициент при переменной не равен нулю, эту переменную можно выразить через другую с помощью переноса слагаемых и деления на коэффициент. Например, из 2x + y = 4 получаем y = 4 − 2x. Теперь можно выбирать любое удобное x и вычислять соответствующее y, получая формулу для поиска решений.

График такого уравнения является прямой, потому что после выражения одной переменной получается линейная зависимость: при изменении x значение y меняется равномерно. Для проведения прямой достаточно двух различных точек: находим две пары решений, отмечаем точки с такими координатами и проводим через них прямую. Остальные решения тоже соответствуют точкам этой линии.

Каждая точка графика соответствует решению: её координаты при подстановке превращают уравнение в верное равенство. И наоборот, пара, удовлетворяющая уравнению, задаёт точку на графике. Точка, которая не лежит на прямой, решением не является, потому что её координаты не выполняют условие уравнения.

Линейное уравнение с двумя переменными

Сначала определи, какие значения относятся к переменным, а какие действия помогут найти решения. Затем проверь выбранные пары подстановкой и используй две различные пары для построения графика. Таблица помогает отделить проверку решений от работы с графиком.

Разбор задач

Проверка пары чисел

Задача. Проверить, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x + y = 7. Нужно подставить оба числа, не меняя их порядок. Если после вычисления получится верное равенство, пара подходит.

1. Первое число пары относится к x, поэтому подставляем x = 2, а второе относится к y: y = 1.
2. Вычисляем левую часть: 3 · 2 + 1 = 6 + 1 = 7. Она равна правой части уравнения.
3. Значит, подстановка дала верное равенство 7 = 7, и пара удовлетворяет условию.

Ответ: пара (2; 1) является решением уравнения.

Выражение переменной и поиск решений

Задача. Выразить y через x в уравнении 2x + y = 4 и найти три решения. Выберем простые значения x, чтобы вычисления были удобными. Каждому выбранному x соответствует значение y, найденное по полученной формуле.

1. Вычитаем 2x из обеих частей: y = 4 − 2x. Коэффициент при y равен 1, поэтому деление не требуется.
2. При x = 0 получаем y = 4, значит, одно решение — (0; 4). При x = 1 находим y = 2, получаем пару (1; 2).
3. При x = 2 получаем y = 0, поэтому третья пара — (2; 0). Каждую пару можно проверить в исходном уравнении.

Ответ: y = 4 − 2x; три решения — (0; 4), (1; 2), (2; 0).

Построение графика и проверка точки

Задача. Построить график уравнения 2x + 3y = 6 и определить, принадлежит ли ему точка (0; 2). Удобно найти решения с нулём в одной из координат, чтобы легко отметить их на осях. Принадлежность заданной точки проверим отдельно подстановкой.

1. Если x = 0, то 3y = 6, откуда y = 2; первое решение — (0; 2). Если y = 0, то 2x = 6, откуда x = 3; второе решение — (3; 0).
2. Отмечаем точки (0; 2) и (3; 0) на координатной плоскости и проводим через них прямую. Это и есть график, потому что обе точки являются решениями линейного уравнения.
3. Подставляем координаты (0; 2): 2 · 0 + 3 · 2 = 6. Равенство верно, поэтому эта точка лежит на графике.

Ответ: график — прямая через точки (0; 2) и (3; 0); точка (0; 2) принадлежит графику.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать решением только одно число, например сказать, что x = 2 — решение. Так поступают, забывая, что условие связывает сразу две переменные. Проверяй себя: записана ли упорядоченная пара (x; y), в которой указаны оба значения?

При подстановке иногда используют только одну переменную или меняют значения местами. Это легко сделать, если не следить за порядком чисел в паре, но коэффициенты при x и y могут различаться. Подписывай значения до вычислений: первое относится к x, второе — к y, затем проверь, что обе переменные учтены.

Пара чисел может казаться подходящей из-за внешнего сходства с числами в уравнении, но это не доказывает, что она является решением. Причина ошибки — попытка угадать ответ вместо проверки. Подставь числа и вычисли обе части; верное равенство — единственное надёжное подтверждение.

Для построения прямой недостаточно одной найденной точки, а неточно поставленные точки могут исказить график. Обычно так происходит, когда торопятся или не проверяют координаты решений. Найди две различные пары, проверь каждую подстановкой и аккуратно отметь точки на координатной плоскости.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями нужно уметь подставлять числа вместо переменных и выполнять действия с рациональными числами: без этих навыков не получится проверить пару или выразить переменную. Также понадобятся координатная плоскость, понимание координат точки и умение строить точку по её координатам. Позже эта тема поможет изучать системы линейных уравнений: их графическое решение связано с поиском общих точек графиков.

Что запомнить

• Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид ax + by = c.
• Решение уравнения — упорядоченная пара значений переменных.
• Пару проверяют подстановкой в исходное уравнение.
• График уравнения — множество точек, координаты которых являются его решениями.
• График линейного уравнения с двумя переменными — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти две различные точки графика.