§ 9. Линейная функция и ее график

Определения и обозначения

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b — числа. Буквой x обозначают переменную: ей можно задавать разные значения. Буква y обозначает значение функции, которое получается после подстановки x в формулу. Такая запись позволяет описать зависимость y от x одним правилом.

Коэффициент k — число, стоящее при x. Если k не равен нулю, он задаёт наклон прямой и показывает, как меняется функция при изменении x. По знаку k можно определить, возрастает функция или убывает. Поэтому при изучении графика сначала полезно обратить внимание именно на этот коэффициент.

Свободный член b — слагаемое, в котором нет x. При x = 0 произведение kx обращается в ноль, поэтому значение функции равно b. Значит, график пересекает ось y в точке (0; b). Это помогает сразу отметить на координатной плоскости одну точку графика.

График линейной функции — прямая, состоящая из точек с координатами (x; y), для которых верно равенство y = kx + b. Координаты каждой точки графика должны подходить к формуле. График помогает увидеть, как изменяется значение функции при изменении x. По нему также можно находить значения функции и точки пересечения с осями.

Как это устроено

Почему график получается прямой? Если увеличить x на одно и то же число, например на 1, значение kx + b каждый раз изменится на k. При изменении x на любое одинаковое число результат тоже будет меняться одинаково, потому что k и b не меняются. Поэтому точки графика располагаются на одной прямой, а не образуют изгиб.

Чтобы построить график, выбери два удобных значения x и вычисли для каждого соответствующее y по формуле. Запиши пары координат и отметь их на координатной плоскости. Через две разные точки проводят прямую: именно она будет графиком линейной функции. Для проверки можно вычислить значение ещё для одного x и убедиться, что полученная точка лежит на прямой.

Коэффициент k показывает, как меняется y, когда x увеличивается. Если k положителен, произведение kx растёт вместе с x, поэтому прямая поднимается слева направо и функция возрастает. Если k отрицателен, увеличение x уменьшает значение kx, и функция убывает. Чем больше модуль коэффициента |k|, тем сильнее меняется y при том же изменении x, а значит, тем круче наклонена прямая.

Свободный член b задаёт начальную точку графика на оси y, потому что при x = 0 формула даёт y = b. Если b положителен, точка (0; b) находится выше начала координат, а если отрицателен — ниже. При изменении b точка пересечения перемещается по оси y, и прямая сдвигается вверх или вниз. Если k не изменился, наклон при этом остаётся прежним.

Некоторые значения коэффициентов дают особые виды графика. При b = 0 формула становится y = kx, и при x = 0 получается y = 0, поэтому прямая проходит через начало координат. Если k = 0, слагаемое kx исчезает и для любого x остаётся одно значение y = b. Все точки такой функции лежат на горизонтальной прямой.

Как коэффициенты линейной функции определяют её график

Сначала найди в формуле значения k и b, затем выбери подходящую строку таблицы. Знак k подскажет направление прямой, а b — её пересечение с осью y. Условия могут сочетаться: например, при b = 0 прямая проходит через начало координат независимо от знака k.

Разбор задач

Построить график функции y = 2x − 1

Нужно получить две точки, координаты которых подходят к формуле. Выберем такие значения x, при которых вычисления просты: x = 0 и x = 1. Затем найдём y и отметим пары координат на плоскости.

1. При x = 0 получаем y = 2 · 0 − 1 = −1, значит, первая точка — (0; −1).
2. При x = 1 получаем y = 2 · 1 − 1 = 1, значит, вторая точка — (1; 1).
3. Отметим обе точки и проведём через них прямую. Она и будет графиком функции.

Проверка помогает убедиться, что вычисления верны: при увеличении x на 1 значение y выросло на 2, как и показывает коэффициент k = 2. Для более точного построения можно выбрать дополнительные значения x, но для проведения прямой они не обязательны. Ответ: график — прямая через точки (0; −1) и (1; 1).

Определить направление функции y = −3x + 4 и найти пересечение с осью y

В этой задаче не требуется строить всю прямую. Направление определяем по коэффициенту при x, а точку пересечения с осью y — по значению функции при x = 0. Так задача решается напрямую из смысла коэффициентов.

1. Сравниваем формулу y = −3x + 4 с видом y = kx + b: k = −3, b = 4.
2. Коэффициент k отрицательный, поэтому функция убывает.
3. При x = 0 получаем y = −3 · 0 + 4 = 4, значит, график пересекает ось y в точке (0; 4).

Проверим координаты: у точки на оси y абсцисса должна быть равна нулю, а найденная точка имеет именно такую абсциссу. Значение ординаты совпадает со свободным членом. Ответ: функция убывает, точка пересечения — (0; 4).

Найти формулу функции через точки (−1; 5) и (2; −1)

Искомая формула имеет вид y = kx + b, но оба коэффициента пока неизвестны. Каждая точка графика даёт равенство, если подставить в формулу её координаты. Получится система из двух уравнений, по которой можно найти k и b.

1. Для точки (−1; 5): 5 = −k + b, или −k + b = 5.
2. Для точки (2; −1): −1 = 2k + b, или 2k + b = −1.
3. Вычтем первое уравнение из второго: 3k = −6, поэтому k = −2. Подставим в первое: 2 + b = 5, откуда b = 3.

Получаем формулу y = −2x + 3. Проверим её по обеим точкам: при x = −1 значение равно 5, а при x = 2 — −1. Значит, найденные коэффициенты подходят. Ответ: y = −2x + 3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что b — координата пересечения с осью x. Число b является ординатой точки пересечения с осью y, потому что на этой оси x = 0. Путаница возникает из-за того, что буква b стоит отдельно от x в формуле. Проверь себя подстановкой x = 0: точка должна иметь координаты (0; b).

Ошибка: определять направление графика не по знаку k или путать возрастание с убыванием. При положительном k прямая поднимается слева направо, а при отрицательном опускается. Это можно проверить, взяв два значения x, второе больше первого, и сравнив полученные y. Такая проверка помогает не ориентироваться на то, где прямая пересекает ось y.

Ошибка: пытаться построить прямую по одной точке. Через одну точку можно провести сколько угодно прямых, поэтому эта информация не определяет график однозначно. Для построения найди значения функции при двух разных x и отметь обе точки. Если точки совпали, проверь подстановку и выбор значений.

Ошибка: считать, что при k = 0 графика нет. В этом случае формула становится y = b, и функция просто принимает одно и то же значение при любом x. Ошибку легко проверить, подставив несколько чисел вместо x: результат каждый раз будет b. Значит, график существует и является горизонтальной прямой.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужно уметь подставлять числа в выражения, вычислять значения формул и отмечать точки на координатной плоскости. Эти навыки помогают составлять таблицу значений и строить график без лишних вычислительных ошибок. Тема опирается на понятия функции и координатного графика: каждому допустимому x соответствует значение y и точка на плоскости. Позже графики линейных функций пригодятся при изучении систем линейных уравнений и взаимного расположения прямых.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Коэффициент k определяет наклон прямой и направление изменения функции.
• При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает.
• При x = 0 значение функции равно b, поэтому график пересекает ось y в точке (0; b).
• Если b = 0, график проходит через начало координат.
• Если k = 0, график горизонтален: y = b.