§ 36. Графический способ решения систем уравнений

Определения и обозначения

Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Например, в системе с переменными x и y одна и та же пара чисел проверяется сразу в двух равенствах. Это понятие нужно, чтобы искать не отдельные ответы к каждому уравнению, а общие для всей системы.

Решение системы уравнений — значение или пара значений неизвестных, удовлетворяющие каждому уравнению системы. Для переменных x и y решение обычно записывают так: (x; y). Такая запись показывает, какие два числа нужно подставить одновременно в оба уравнения.

Графический способ решения системы уравнений — способ найти решения по точкам пересечения графиков уравнений системы. Каждое уравнение изображают на координатной плоскости, а затем ищут общие точки полученных графиков. Их координаты и дают ответ, потому что точка принадлежит сразу обоим графикам.

Как это устроено

Сначала каждое уравнение системы нужно представить как уравнение своего графика на одной координатной плоскости. Чаще всего уравнение преобразуют к виду y = f(x), чтобы для выбранного x можно было вычислить y. Тогда одна и та же система координат позволяет сравнить оба графика при одинаковых значениях переменных.

Если уравнение имеет вид y = f(x), график строят по нескольким известным точкам. Для этого выбирают удобные значения x, находят соответствующие значения y и отмечают пары (x; y), после чего проводят линию или другую нужную кривую. Такой порядок нужен, чтобы заменить запись уравнения на наглядное изображение зависимости между x и y.

Общая точка двух графиков соответствует значениям, удовлетворяющим обоим уравнениям. Действительно, если точка лежит на первом графике, её координаты подходят к первому уравнению, а если она одновременно лежит на втором, те же координаты подходят и ко второму. Поэтому искать решение системы можно как поиск общих точек графиков.

Координаты точки пересечения записывают в виде пары (x; y): абсцисса, то есть координата по горизонтальной оси, является значением x, а ордината по вертикальной оси — значением y. Если прямые пересекаются в одной точке, система имеет одно решение. Если графики не пересекаются, решений нет, а если полностью совпадают, общих точек и решений бесконечно много.

Построение по точкам обычно даёт приближённый результат, поскольку точку пересечения приходится считывать с рисунка. Она может находиться между делениями или быть отмечена не совсем точно. Поэтому найденную пару полезно подставить в оба исходных уравнения и проверить, получаются ли верные равенства.

Как взаимное расположение графиков связано с решениями системы

Сначала определите, есть ли у графиков общие точки, а затем посчитайте их. Для прямых удобно сравнить наклоны и точки пересечения с осью y, но окончательный вывод можно сделать и по построению.

Если графики пересекаются, координаты каждой общей точки нужно записать как отдельное решение. При совпадении прямых отдельные точки перечислять нельзя: решениями будут все пары координат, лежащие на этой прямой.

Разбор задач

Задача 1. Пересекающиеся прямые

Решите графически систему y = x и y = 2 − x. Оба графика являются прямыми, поэтому для каждой достаточно выбрать две удобные точки. Нужно найти их общую точку и проверить её координаты в исходных уравнениях.

1. Для прямой y = x возьмём точки (0; 0) и (2; 2). Для прямой y = 2 − x удобно взять точки (0; 2) и (2; 0).
2. Построим обе прямые в одной координатной плоскости. Они пересекаются в точке (1; 1), значит, предполагаемое решение — пара (1; 1).
3. Проверим: в первом уравнении 1 = 1, а во втором 1 = 2 − 1. Оба равенства верны.

Ответ: (1; 1).

Задача 2. Найти координаты пересечения

Решите графически систему y = 2x − 1 и y = −x + 5. Для точного рисунка выберем точки с целыми координатами. После построения нужно считать координаты пересечения и обязательно выполнить проверку.

1. Для y = 2x − 1 получаем точки (0; −1) и (1; 1). Для y = −x + 5 можно взять точки (0; 5) и (5; 0).
2. Проводим две прямые. Они пересекаются в точке (2; 3), поэтому предполагаем, что x = 2, y = 3.
3. Подставим пару: 3 = 2 · 2 − 1 и 3 = −2 + 5. Оба равенства выполняются, значит, координаты считаны правильно.

Ответ: (2; 3).

Задача 3. Графики не пересекаются

Определите графически число решений системы y = 2x + 1 и y = 2x − 3. У обеих прямых одинаковый коэффициент при x, поэтому они имеют одинаковый наклон. Свободные члены различны, значит, это разные прямые.

1. Для первой прямой можно отметить точки (0; 1) и (1; 3), а для второй — (0; −3) и (1; −1).
2. При построении видно, что прямые идут параллельно и не имеют общей точки. Одинаковый наклон не позволяет им пересечься, а разные свободные члены показывают, что они не совпадают.
3. Раз общих точек нет, пары чисел, подходящей сразу к двум уравнениям, тоже нет.

Ответ: система не имеет решений.

Типичные ошибки

Иногда за ответ называют только точку на рисунке, не записывая её координаты. Решением является не название точки, а пара чисел (x; y), взятых вместе. Проверьте себя: в записи должны присутствовать и абсцисса, и ордината.

Нельзя строить два графика на разных координатных плоскостях или использовать разные масштабы по осям. Тогда положение линий относительно друг друга сравнить невозможно. Убедитесь, что обе зависимости изображены на одной сетке с одинаковыми единицами измерения.

Считанные с рисунка координаты могут оказаться приблизительными, но их иногда принимают за точные. Особенно легко ошибиться, если пересечение находится между делениями. Подставьте пару в оба уравнения и проверьте равенства.

Некоторые считают, что любая система обязательно имеет одно решение. На самом деле графики могут быть параллельными или совпадающими. Перед записью ответа посмотрите, сколько общих точек у построенных графиков.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь строить графики линейных функций по точкам и читать координаты на плоскости. Эти навыки помогают правильно изобразить каждое уравнение и определить положение общей точки.

Графический способ опирается на понятие решения уравнения и на подстановку значений для проверки равенства. Если координаты точки подходят одному уравнению, это ещё не доказывает, что они являются решением всей системы.

Позже системы линейных уравнений можно будет решать графически, подстановкой и алгебраическим способом. Сравнение методов помогает выбрать способ, который удобнее для конкретной системы.

Что запомнить

• Графики уравнений системы строят в одной координатной плоскости.
• Решения системы — координаты общих точек графиков.
• Одна точка пересечения означает одно решение.
• Параллельные непересекающиеся графики означают, что решений нет.
• Совпадающие графики означают бесконечно много решений.
• Графический ответ может быть приближённым — проверяй его подстановкой.