"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Система уравнений помогает найти несколько неизвестных величин, связанных между собой условиями задачи. Сначала нужно выбрать переменные и объяснить, что они обозначают, затем перевести каждое независимое условие в уравнение. Полученную систему решают известным способом, но найденные числа ещё не всегда подходят для ответа: их проверяют по исходной задаче и учитывают смысл величин. Такой способ применяют в задачах на числа, движение, геометрию и другие ситуации.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неизвестные величины — это значения, которые нужно найти из условия задачи. Каждую искомую величину обозначают отдельной переменной, например x или y, и поясняют её смысл. Так проще не перепутать разные величины и выразить их связи формулами.
Система уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными. Решением системы называют набор значений, который удовлетворяет всем уравнениям одновременно. Система нужна, когда в задаче есть несколько условий, одновременно ограничивающих искомые величины.
Математическая модель задачи — система уравнений, составленная по условию с помощью введённых неизвестных и связей между величинами. Она заменяет словесное описание точными математическими записями. По модели можно вычислить возможные значения, а затем соотнести их с исходной ситуацией.
Проверка решения задачи — подстановка найденных значений в уравнения системы и сопоставление результата с исходным условием. Она помогает обнаружить вычислительную ошибку или неподходящие по смыслу значения. Проверка нужна, чтобы убедиться, что решена сама задача, а не только записанная система.
Сначала выясняют, какие величины требуется найти, и вводят для них переменные. Каждой величине дают своё обозначение, потому что неизвестные могут иметь разные значения и единицы измерения. Рядом записывают пояснение, например: x — скорость первого велосипедиста в километрах в час.
Затем каждое условие переводят в уравнение. Для этого нужные величины сначала выражают через переменные, а потом записывают указанную в задаче связь: сумму, разность, равенство или другую зависимость. Такой порядок помогает не перепутать слова условия и математические действия.
Если условия независимы, каждое из них даёт отдельное уравнение, а вместе они образуют систему. Искомые величины должны подходить ко всем условиям сразу, поэтому недостаточно выполнить только одно равенство. Перед решением стоит проверить, действительно ли каждое уравнение описывает отдельную связь из задачи.
Систему решают уже знакомым способом, например подстановкой или сложением уравнений. Но полученная пара значений пока является лишь кандидатом на ответ: уравнения могли быть составлены неверно, а сама задача может ограничивать допустимые значения. Например, отрицательная ширина прямоугольника не имеет смысла.
В конце найденные величины подставляют в уравнения и сверяют с исходным условием. Проверяют не только вычисления, но и смысл ответа: величины должны быть допустимыми и иметь нужные единицы измерения. После проверки ответ записывают словами, указывая, что именно найдено.
| Этап | Что сделать | Что записать |
|---|---|---|
| Выбор неизвестных | Определить искомые величины и обозначить их переменными. | Пояснения к переменным. |
| Перевод условия в уравнения | Выразить нужные величины и записать связь из каждого условия. | Уравнения по отдельным условиям. |
| Составление системы | Объединить уравнения с общими неизвестными. | Систему уравнений. |
| Решение системы | Найти значения неизвестных известным способом. | Кандидата на ответ. |
| Проверка по условию и запись ответа | Сверить значения с условиями и проверить их допустимость. | Ответ с названиями величин и единицами. |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда понятно, что записано на предыдущем. Если при проверке ответ не подходит, вернись к выбору неизвестных и составлению уравнений. Так легче найти место ошибки, а не начинать решение наугад.
Сумма двух чисел равна 18, а одно из них на 4 больше другого. Обозначим меньшее число через x, а большее через y. Так как y на 4 больше x, получаем y = x + 4; сумма чисел даёт второе условие.
Ответ: 7 и 11.
Периметр прямоугольника равен 34 см, длина на 5 см больше ширины. Пусть x — ширина в сантиметрах, а y — длина. Периметр складывается из двух длин и двух ширин, поэтому первое уравнение будет 2x + 2y = 34.
Ответ: ширина 6 см, длина 11 см.
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 48 км, и встретились через 2 часа. Скорость одного на 4 км/ч больше скорости другого. Пусть x — скорость более медленного велосипедиста, а y — более быстрого, в километрах в час.
Ответ: скорости велосипедистов — 10 км/ч и 14 км/ч.
Не пояснять, что обозначают переменные, — значит оставлять непонятным, какие величины стоят за x и y. Такую запись допускают, когда спешат перейти к вычислениям; из-за неё легко перепутать уравнения и единицы измерения. Проверь себя: рядом с каждой переменной должно быть короткое пояснение, а в ответе — название величины.
Записать только одно условие или дважды использовать одну и ту же связь — значит составить неполную систему. Это случается, если ученик сразу переводит весь текст в формулы и не отмечает условия по отдельности. Проверь, что каждому независимому условию соответствует уравнение и что вместе они позволяют найти неизвестные.
Путать выражения «на 4 больше» и «в 4 раза больше» — значит неверно переводить слова в действие. Причина часто в том, что при чтении обращают внимание на число, но не на слово, которое задаёт связь. Проверь уравнение на простом примере: «на 4 больше» записывают прибавлением 4, а «в 4 раза больше» — умножением на 4.
Считать любое решение системы ответом задачи нельзя: числа могут не соответствовать смыслу величин или нарушать ограничения. Например, отрицательная длина не подходит, хотя может удовлетворять уравнениям. Подставь значения в исходные условия и проверь их допустимость, прежде чем записывать ответ.
Для составления модели нужно уметь обозначать неизвестные переменными и записывать выражения по словесному условию. Также пригодится решение систем линейных уравнений: оно позволяет найти значения переменных после составления модели. Если эти умения знакомы, задачу можно разобрать по шагам, не пытаясь угадать ответ.
Системы применяют в задачах на движение, совместную работу, покупки, смеси, числа и геометрические величины. Во всех таких ситуациях выбирают неизвестные и описывают несколько связей между ними. Позже тот же способ моделирования поможет решать более сложные прикладные задачи с несколькими неизвестными.
Сколько неизвестных выбирать для задачи?
Выбирай столько переменных, сколько независимых величин требуется найти и удобно выразить отдельно. Для каждой переменной сразу запиши, что она обозначает. Иногда одну величину можно выразить через другую, но тогда уравнения должны всё равно описывать все условия.
Как понять, какое уравнение составить по каждому условию?
Сначала вырази нужные величины через переменные, а затем запиши связь из условия с помощью равенства. Например, слова на 4 больше означают, что к меньшему числу прибавляют 4. После составления полезно проверить, соответствует ли равенство словам задачи.
Почему из задачи получается именно система уравнений?
Искомые значения должны одновременно удовлетворять нескольким условиям. Каждое независимое условие даёт своё уравнение, а все уравнения с общими неизвестными объединяют в систему. Одно уравнение часто не позволяет определить все неизвестные.
Что делать, если система имеет несколько решений?
Проверь каждую найденную пару по исходному условию и ограничениям задачи. Например, длина или скорость не могут быть отрицательными, а число предметов обычно должно быть целым. В ответ включай только подходящие по смыслу значения.
Обязательно ли проверять найденную пару чисел по исходному условию?
Да: решение системы подтверждает только то, что пара удовлетворяет записанным уравнениям. При составлении уравнений можно допустить ошибку или не учесть ограничение задачи. Подстановка в условия помогает убедиться, что получен ответ именно на задачу.
45. Решение задач с помощью систем уравнений
