§ 3. Трапеция

Определения и обозначения

Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельными могут быть только стороны, не имеющие общей вершины, то есть противоположные. Это определение помогает отличить трапецию от других четырёхугольников и понять, какие свойства к ней применять.

Основания трапеции — её параллельные стороны; боковые стороны — две остальные стороны. Например, если стороны AB и CD параллельны, то именно они являются основаниями, а BC и AD — боковыми сторонами. Такое название помогает быстро выбрать нужные стороны для вычисления средней линии или углов.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Середина отрезка делит его на две равные части, поэтому концы средней линии находятся на одинаковом расстоянии от вершин боковых сторон. Этот отрезок нужен, чтобы связать длину трапеции с длинами её оснований.

Равнобедренная трапеция — трапеция, боковые стороны которой равны; прямоугольная трапеция — трапеция с прямым углом. Названия показывают, какое дополнительное условие есть у каждой фигуры: равенство боковых сторон или наличие угла 90°. Эти условия помогают распознавать специальные виды трапеций и использовать их дополнительные свойства.

Как это устроено

Основаниями называют именно параллельные стороны, потому что параллельность — главный признак трапеции. Другие две стороны не параллельны основаниям и друг другу, поэтому это боковые стороны. Если бы параллельными оказались обе пары противоположных сторон, получился бы параллелограмм, а не трапеция в принятом здесь определении. Поэтому по параллельной паре можно определить основания, даже если они расположены не горизонтально.

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают 180°. Причина в том, что боковая сторона пересекает два параллельных основания и выступает секущей. Эти углы лежат между параллельными прямыми по одну сторону секущей, значит, они односторонние, а сумма односторонних углов равна 180°. Например, если один из них равен 68°, то второй равен 180° − 68° = 112°.

Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. Чтобы увидеть, откуда берётся это свойство, проведи диагональ: средняя линия вместе с частью диагонали образует среднюю линию одного из треугольников, а в другом треугольнике появляется ещё один отрезок, соединяющий середины двух сторон. По теореме о средней линии треугольника такие отрезки параллельны третьей стороне и равны её половине. В итоге средняя линия трапеции складывается из половин двух оснований: m = (a + b) / 2.

У равнобедренной трапеции равны углы при каждом основании и диагонали. Равные боковые стороны делают фигуру симметричной относительно прямой, перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины. При отражении относительно этой прямой один угол при основании переходит в другой, а одна диагональ — в другую. Поэтому соответствующие углы и диагонали имеют равные величины; у обычной трапеции такой симметрии может не быть.

Прямоугольная трапеция отличается от равнобедренной условием о прямом угле: равенство боковых сторон для неё не требуется. Если одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, то образуются два прямых угла, ведь углы при этой стороне в сумме составляют 180°. Высота — это перпендикулярное расстояние между основаниями. В прямоугольной трапеции высотой служит та боковая сторона, которая перпендикулярна основаниям.

Виды трапеций и их свойства

Сначала найди в своей задаче столбец, который соответствует виду трапеции: дополнительные равенства относятся не ко всем фигурам. Свойства средней линии и сумма углов при одной боковой стороне подходят любой трапеции. Если вид трапеции не указан, не предполагай, что её боковые стороны или диагонали равны.

Разбор задач

Задача 1. В трапеции один из углов при боковой стороне равен 68°. Найдите второй угол при этой стороне. Нужно заметить, что основания параллельны, а боковая сторона пересекает их. Поэтому искомый угол вместе с данным составляет 180°.

1. Рассмотрим два угла, прилежащие к одной боковой стороне. Они являются односторонними углами при параллельных основаниях.
2. Запишем их сумму: 68° + x = 180°. Вычтем 68°: x = 180° − 68° = 112°.
3. Ответ: 112°.

Задача 2. Основания трапеции равны 7 см и 13 см. Найдите её среднюю линию. Средняя линия равна полусумме оснований, то есть их сумме, разделённой на два. Используем только длины параллельных сторон, а не боковых.

1. Обозначим среднюю линию буквой m, а основания — a = 7 см и b = 13 см. Подставим значения в формулу m = (a + b) / 2.
2. Сначала сложим основания: 7 + 13 = 20 см. Затем разделим сумму пополам: 20 / 2 = 10 см.
3. Ответ: 10 см.

Задача 3. В равнобедренной трапеции диагональ образует с основанием угол 35°. Найдите соответствующий угол при другом основании. Диагональ пересекает основания, которые параллельны, поэтому образованные ею накрест лежащие углы равны. Дополнительно используем равенство углов при основаниях равнобедренной трапеции, чтобы сопоставить нужные углы.

1. Обозначим основания трапеции как AB и CD, где AB ∥ CD, а диагональ AC пересекает их. Угол между AC и AB равен 35°.
2. При пересечении параллельных оснований диагональю AC соответствующий ему накрест лежащий угол между AC и CD также равен 35°. Это следует из свойства углов при параллельных прямых.
3. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, но угол между диагональю и основанием не всегда совпадает с углом между боковой стороной и основанием. Поэтому ответ зависит от того, какой именно угол назван соответствующим: если речь об угле между диагональю и другим параллельным основанием, он равен 35°.
4. Ответ: 35° для угла между диагональю и другим основанием.

Типичные ошибки

Ошибка: называть основаниями любые две противоположные стороны. Так делают, потому что слово «основание» иногда связывают с нижней стороной фигуры, но у трапеции важна параллельность, а не положение на листе. Проверь себя: основаниями могут быть только противоположные параллельные стороны; оставшаяся пара — боковые стороны.

Ошибка: считать среднюю линию полусуммой всех четырёх сторон. Формулу путают с другими правилами вычислений или забывают, что средняя линия связана именно с основаниями. Проверь обозначения: в формуле m = (a + b) / 2 величины a и b — две параллельные стороны, а не боковые.

Ошибка: складывать до 180° углы, расположенные при разных боковых сторонах. Свойство односторонних углов относится к паре углов у одной секущей, поэтому такая попытка может дать неверный результат. Проверь себя: оба выбранных угла должны прилегать к одной боковой стороне и находиться внутри параллельных оснований по одну сторону от неё.

Ошибка: переносить равенство боковых сторон, углов при основаниях и диагоналей на любую трапецию. Эти свойства относятся к равнобедренной трапеции, а не следуют из одной только параллельности оснований. Проверь условие задачи: равенства можно использовать, только если прямо сказано, что трапеция равнобедренная, или это доказано.

Связь с другими темами

Для изучения трапеции нужны определение параллельных прямых и свойства углов при секущей: они объясняют, почему углы у одной боковой стороны дополняют друг друга до 180°. Понятия середины отрезка и средней линии треугольника помогают обосновать формулу средней линии трапеции. Дальше эти знания пригодятся при изучении площадей многоугольников и в задачах на подобие и параллельность, где важно находить длины и углы частей фигуры.

Что запомнить

• У трапеции ровно одна пара параллельных противоположных сторон.
• Параллельные стороны называются основаниями, остальные — боковыми сторонами.
• Сумма углов при одной боковой стороне равна 180°.
• Средняя линия параллельна основаниям.
• Длина средней линии равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2.
• У равнобедренной трапеции равны углы при каждом основании и диагонали.