§ 2. Параллельные секущие сторон угла

Определения и обозначения

Секущая сторон угла — прямая, которая пересекает обе стороны угла. Если угол имеет вершину O, секущая может пересечь одну сторону в точке A₁, а другую — в точке B₁. Эти точки обозначают места пересечения прямой со сторонами, а отрезки OA₁ и OB₁ показывают расстояния от вершины до секущей по сторонам угла.

Параллельные секущие сторон угла — две или несколько прямых, каждая из которых пересекает обе стороны одного угла, причём сами прямые не пересекаются. Например, первая секущая проходит через A₁ и B₁, а вторая — через A₂ и B₂. Это условие позволяет сравнивать отрезки, отсекаемые одними и теми же прямыми.

Соответствующие отрезки лежат на разных сторонах угла и относятся к одной и той же секущей или к одной и той же паре соседних секущих. Так, OA₁ и OB₁ соответствуют друг другу, поскольку заканчиваются на первой секущей; A₁A₂ и B₁B₂ соответствуют как отрезки между двумя секущими. Верное сопоставление нужно, чтобы составить правильную пропорцию.

Пропорциональные отрезки — отрезки, для которых отношения соответствующих пар равны. Например, если OA₁/OA₂ = OB₁/OB₂, то эти четыре отрезка образуют пропорцию. Понятие нужно, чтобы описать связь длин на сторонах угла и находить неизвестную длину.

Как это устроено

Обозначим вершину угла буквой O, а его стороны — лучами OA и OB. Две параллельные секущие пересекают луч OA в точках A₁ и A₂, а луч OB — в точках B₁ и B₂; пары A₁, B₁ и A₂, B₂ лежат на одной секущей. Такое обозначение сразу показывает, какие отрезки относятся к одной прямой. Если секущих больше, точки на каждой стороне нумеруют в соответствующем порядке.

Соединим точки A₁ и B₁, а также A₂ и B₂: эти отрезки лежат на параллельных секущих. Рассмотрим треугольники OA₁B₁ и OA₂B₂. У них общий угол при O, а углы, образованные сторонами угла с параллельными секущими, попарно равны; поэтому треугольники подобны по двум углам. Именно параллельность даёт равенство углов, а общая вершина связывает обе фигуры в одной пропорции.

У подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны. Поэтому OA₁/OA₂ = OB₁/OB₂: отношение расстояний от вершины до первой и второй секущих одинаково на обеих сторонах угла. Можно записать и обратное равенство, поменяв местами числители и знаменатели в обоих отношениях. Это свойство помогает найти неизвестный отрезок, если остальные три длины известны.

Пропорциональны и отрезки между соседними секущими. Например, A₁A₂ = OA₂ − OA₁, а B₁B₂ = OB₂ − OB₁; из подобия следует, что разности на сторонах сохраняют то же отношение, что и соответствующие расстояния от вершины. Получаем A₁A₂/B₁B₂ = OA₁/OB₁, если точки расположены в порядке O, A₁, A₂ и O, B₁, B₂. При нескольких параллельных секущих это рассуждение применяют к каждой соседней паре.

Есть и обратный вывод: пропорциональность соответствующих отрезков может показать, что соединяющие точки прямые параллельны. Для этого важно, чтобы точки лежали на сторонах одного угла, были сопоставлены в одном порядке и выполнялось нужное равенство отношений. Тогда обратная теорема о пропорциональных отрезках позволяет заключить, что секущие параллельны. Одной случайной пропорции между несоответствующими отрезками для такого вывода недостаточно.

Свойства параллельных секущих сторон угла

Сначала найди на рисунке или в условии одинаково расположенные точки и отрезки, затем выбери подходящую строку таблицы. При поиске длины используй прямую пропорцию, а для доказательства параллельности — обратное утверждение. В любой записи соблюдай один порядок сравнения соответствующих отрезков.

Разбор задач

Задача 1. В угле с вершиной O две параллельные секущие пересекают его стороны в точках A₁, B₁ и A₂, B₂. Известно: OA₁ = 3 см, OA₂ = 6 см, OB₁ = 4 см. Найти OB₂. Нужно сопоставить расстояния до точек, лежащих на одной и той же секущей, и составить пропорцию в одинаковом порядке.

1. Записываем OA₁/OA₂ = OB₁/OB₂, так как треугольники OA₁B₁ и OA₂B₂ подобны.
2. Подставляем известные длины: 3/6 = 4/OB₂.
3. Поскольку 3/6 = 1/2, получаем 1/2 = 4/OB₂. Отсюда OB₂ = 8 см.

Ответ: OB₂ = 8 см. Проверка показывает, что расстояние до второй секущей на луче OB вдвое больше расстояния до первой, как и на луче OA.

Задача 2. Параллельные секущие отсекают на одной стороне угла отрезки A₁A₂ = 5 см и A₂A₃ = 10 см. На другой стороне соответствующий первому отрезок B₁B₂ равен 4 см. Найти B₂B₃. Поскольку секущих несколько, сравним промежутки между соседними секущими, а не расстояния от вершины.

1. Для соответствующих отрезков между секущими отношения равны: A₁A₂/B₁B₂ = A₂A₃/B₂B₃.
2. Подставляем данные: 5/4 = 10/B₂B₃.
3. Перемножаем крест-накрест: 5 · B₂B₃ = 40, поэтому B₂B₃ = 8 см.

Ответ: B₂B₃ = 8 см. Второй промежуток на первой стороне вдвое длиннее первого, поэтому на второй стороне он также вдвое больше соответствующего отрезка 4 см.

Задача 3. На сторонах угла отмечены точки A₁, A₂ и B₁, B₂ в соответствующем порядке. Известно, что OA₁/OA₂ = OB₁/OB₂. Доказать, что прямые A₁B₁ и A₂B₂ параллельны. Здесь не дано, что прямые параллельны заранее, поэтому свойство подобия нужно заменить обратной теоремой.

1. Рассматриваем треугольники OA₁B₁ и OA₂B₂. Угол при O у них общий.
2. По условию отношения двух сторон, прилежащих к этому углу, равны: OA₁/OA₂ = OB₁/OB₂.
3. Значит, треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Соответствующие углы при A₁ и A₂ равны, следовательно, прямые A₁B₁ и A₂B₂ параллельны.

Ответ: A₁B₁ ∥ A₂B₂. Важно, что точки сопоставлены правильно и находятся на одних и тех же лучах, исходящих из O.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать отрезки, относящиеся к разным секущим. Её допускают, когда записывают пропорцию, не проверив, где лежат концы каждого отрезка. Перед вычислением назови вслух, какие точки принадлежат одной секущей, и проверь пары OA₁ и OB₁, OA₂ и OB₂.

Вторая ошибка — менять порядок в отношениях: например, записать OA₁/OA₂ = OB₂/OB₁. Тогда одному отношению соответствует величина «первый отрезок к второму», а другому — «второй к первому». Проверка проста: расположи соответствующие отрезки в числителях обоих отношений, а другие — в знаменателях.

Третья ошибка — путать расстояния от вершины с промежутками между секущими. OA₁ — отрезок от O до первой секущей, а A₁A₂ — отрезок между первой и второй. Чтобы проверить себя, посмотри, какие именно точки являются концами искомого отрезка, и выбери формулу для этого вида отрезков.

Четвёртая ошибка — применять теорему, не проверив её условия. Прямые должны быть параллельными для прямого утверждения, а для обратного точки должны лежать на сторонах угла и соответствовать друг другу. Перед решением запиши, что дано и что требуется доказать; если нужного условия нет, выбранный вывод не обоснован.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия угла, луча, прямой и параллельных прямых, а также умение составлять пропорции и знать подобие треугольников. Подобие здесь появляется благодаря равным углам, которые образуются при пересечении параллельных прямых. Эти свойства станут основой для задач на подобные треугольники и масштабирование, а также пригодятся при изучении теоремы Фалеса. Во всех таких задачах важно правильно сопоставлять отрезки и отношения их длин.

Что запомнить

• Параллельные секущие сторон угла образуют подобные треугольники с общей вершиной.
• Расстояния от вершины угла до соответствующих секущих пропорциональны.
• Соответствующие отрезки на двух сторонах угла пропорциональны.
• В пропорции сопоставляй отрезки, относящиеся к одним и тем же секущим.
• Чтобы найти неизвестный отрезок, составь пропорцию и реши её.
• Пропорциональность соответствующих отрезков может служить признаком параллельности секущих.