"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, где каждое следующее число получают прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Это постоянное число называют разностью прогрессии. Зная первый член и разность, можно не выписывать всю последовательность, а сразу находить любой её член по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d. Эти правила помогают проверять последовательности, находить пропущенные числа и решать задачи о равномерном изменении величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовая последовательность — упорядоченный набор чисел, каждому из которых соответствует свой номер. Её члены записывают так: a₁, a₂, …, aₙ, где нижний индекс показывает место числа. Например, a₁ — первый член, а aₙ — член с номером n. Нумерация помогает точно указать, о каком числе идёт речь.
Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением одного и того же числа к предыдущему. Например, 2, 5, 8, 11 — такая последовательность: к каждому числу прибавляют 3. Это определение позволяет отличить прогрессию от последовательностей, где прибавляемое число меняется.
Разность арифметической прогрессии d — постоянная разность соседних членов: d = aₙ₊₁ − aₙ. Чтобы её найти, из следующего члена вычитают предыдущий, сохраняя именно такой порядок. Разность показывает, на сколько меняется прогрессия при переходе на один шаг.
Формула n-го члена арифметической прогрессии — способ найти член с заданным номером по первому члену и разности: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Здесь a₁ — первый член, d — разность, n — номер искомого числа. Формула нужна, чтобы не выписывать все предыдущие члены по очереди.
По определению у каждого следующего члена одной и той же прогрессии прибавляется одно и то же число. Поэтому разность между вторым и первым, третьим и вторым, четвёртым и третьим членами будет равна d. Верно и обратное: если разности всех соседних членов одинаковы, то каждый следующий член отличается от предыдущего на одно постоянное число. Значит, последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда постоянны все такие разности.
Прогрессию можно задавать не только списком чисел, но и рекуррентно: сообщить первый член и правило перехода к следующему. Формула aₙ₊₁ = aₙ + d и есть такое правило. Например, если a₁ = 4 и d = 3, то a₂ = 4 + 3 = 7, затем a₃ = 7 + 3 = 10. Зная начальное число и неизменный шаг, можно последовательно построить всю прогрессию.
Формула n-го члена получается из этих переходов. Чтобы попасть от a₁ к a₂, разность прибавляют один раз; чтобы попасть к a₃ — два раза. До члена aₙ нужно сделать n − 1 переходов, так как первый член уже находится на начальном месте. Поэтому к a₁ прибавляют (n − 1)d и получают aₙ = a₁ + (n − 1)d.
Знак разности показывает направление изменения членов. Если d > 0, к каждому числу прибавляется положительное число, поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Если d < 0, прибавление отрицательного числа уменьшает член, и прогрессия убывает. При d = 0 ничего не меняется, так что все члены равны первому.
По нескольким членам прогрессию проверяют, находя разности всех соседних чисел и сравнивая их. Например, в последовательности 4, 9, 14 разности равны 5 и 5, значит, известные члены согласуются с правилом прогрессии. Если один член пропущен, можно найти разность по другим соседним членам и прибавить её к числу перед пропуском. Например, между 9 и 19 при двух одинаковых шагах разность равна (19 − 9) / 2 = 5, поэтому пропущенный член — 14.
| Что рассматриваем | Обозначение или формула | Что означает |
|---|---|---|
| Первый член | a₁ | Начальное число последовательности |
| Разность | d = aₙ₊₁ − aₙ | Одинаковое приращение при переходе к следующему члену |
| Рекуррентная формула | aₙ₊₁ = aₙ + d | Позволяет найти следующий член по предыдущему |
| Формула n-го члена | aₙ = a₁ + (n − 1)d | Позволяет найти член с любым заданным номером |
| Изменение членов | d > 0; d < 0; d = 0 | Прогрессия соответственно возрастает, убывает или остаётся постоянной |
Сначала определи, что известно: первый член, разность или несколько членов с номерами. Чтобы продолжить прогрессию на один шаг, используй рекуррентную формулу; чтобы найти далёкий член, удобнее формула n-го члена. Знак d сразу подскажет, в какую сторону меняются числа.
Задача 1. Первые члены последовательности равны 4, 9, 14, 19. Проверьте, является ли она арифметической, и найдите разность. Для проверки нужно вычислить разности соседних членов. Сравним их, а не будем делать вывод только по одному переходу.
Ответ: да, это арифметическая прогрессия; d = 5. Равные разности показывают, что на каждом шаге число увеличивается одинаково. Если бы хотя бы одна разность отличалась, условие прогрессии не выполнялось бы.
Задача 2. В арифметической прогрессии a₁ = 3 и d = 5. Найдите a₈. Можно было бы прибавлять 5 снова и снова, но для восьмого члена это заняло бы несколько действий. Используем формулу, которая сразу учитывает число переходов.
Ответ: a₈ = 38. Между первым и восьмым членами семь переходов, и на каждом прибавляется 5. Поэтому к первому члену добавили семь разностей.
Задача 3. В арифметической прогрессии a₃ = 11 и a₇ = 27. Найдите разность и первый член. Неизвестный первый член не мешает применить формулу отдельно к каждому известному номеру. Так мы получим два равенства с двумя неизвестными — a₁ и d.
Ответ: d = 4, a₁ = 3. Разность нашли, сравнив известные члены: между третьим и седьмым ровно четыре шага, а число увеличилось на 16. Затем, зная разность, восстановили первый член.
В формуле n-го члена иногда пишут aₙ = a₁ + nd вместо a₁ + (n − 1)d. Ошибка возникает, если принять номер члена за число переходов от первого. Проверь себя на втором члене: при n = 2 должно прибавиться d один раз, а не два.
Разность прогрессии путают с очередным членом или вычисляют в обратном порядке. По определению нужно вычитать предыдущий член из следующего: d = aₙ₊₁ − aₙ. Для проверки запиши одинаково все разности, например «следующий минус предыдущий», и сравни результаты.
При отрицательной разности можно потерять знак и вместо уменьшения получить увеличение. Такая ошибка часто появляется, когда число подставляют в формулу без скобок. Записывай, например, aₙ = a₁ + (n − 1) · (−3), а затем аккуратно выполняй умножение.
Иногда постоянство разности проверяют только для одной пары соседних членов. Но совпадение одной разности с ожидаемым числом ещё не доказывает, что все остальные такие же. Вычисли каждую разность в данном фрагменте последовательности и убедись, что все результаты равны.
Для изучения арифметической прогрессии нужны понятие числовой последовательности, обозначения её членов и умение работать с целыми и рациональными числами. В частности, при отрицательной разности важно правильно выполнять вычитание и действия с числами разных знаков. Формула n-го члена помогает решать задачи о последовательностях, когда нужно сразу найти далёкий член. Постоянное приращение связано с идеей линейной зависимости и помогает подготовиться к изучению других видов прогрессий.
Как быстро проверить, является ли последовательность арифметической?
Вычти каждый член из следующего: посчитай разности соседних членов. Если все полученные разности одинаковы, последовательность арифметическая; если хотя бы одна отличается — нет.
Почему в формуле n-го члена стоит n − 1, а не n?
От первого члена до второго нужно сделать один переход, а до n-го — всего n − 1 переходов. При каждом переходе прибавляется разность d, поэтому в формуле стоит (n − 1)d.
Может ли разность арифметической прогрессии быть отрицательной?
Да. Например, в последовательности 10, 7, 4, 1 разность равна −3. При отрицательной разности каждый следующий член меньше предыдущего.
Как найти разность, если известны два члена, но они не соседние?
Для членов с номерами k и m используй формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d или её следствие aₘ − aₖ = (m − k)d. Разность чисел раздели на разность их номеров: d = (aₘ − aₖ) / (m − k).
Как восстановить пропущенный член арифметической прогрессии?
Если известны соседние с пропуском члены и прогрессия арифметическая, найди постоянную разность и прибавь её к предыдущему члену. Например, в записи 4, 9, …, 19 разность равна 5, поэтому пропущенное число — 14.
§ 3. Арифметическая прогрессия
