§ 4. Функциональная зависимость

Определения и обозначения

Функциональная зависимость — соответствие, при котором каждому допустимому значению x соответствует единственное значение y. Допустимым называют такое x, при котором правило можно применить без нарушения математических условий. Это определение помогает отличить функцию от произвольной связи между величинами: для одного и того же x результат не должен меняться.

Функция — правило, задающее функциональную зависимость; запись y = f(x) показывает зависимость y от x. Буква f обозначает правило, а запись f(x) — результат его применения к числу x. Обозначение удобно, когда нужно кратко записать зависимость или сравнить значения функции при разных аргументах.

Аргумент — независимая переменная x, значения которой выбираются из области определения. Его называют независимым, потому что сначала выбирают x, а затем по правилу находят соответствующий результат. Понимание этого термина помогает правильно читать условие задачи и не путать входное значение с ответом.

Значение функции — результат f(x), соответствующий выбранному значению аргумента. Если задано x = 2, то значение функции обозначают f(2), а при записи y = f(x) оно также обозначено буквой y. Этот термин нужен, чтобы ясно указывать, какой результат получен для конкретного аргумента.

Как это устроено

Чтобы зависимость была функциональной, каждому выбранному x должен соответствовать ровно один результат. Если одному x поставить в соответствие два разных y, нельзя однозначно определить, каким будет результат при этом аргументе. Например, правило «числу поставить в соответствие его квадрат» однозначно: у числа 3 квадрат только один — 9. При этом два разных аргумента могут дать одинаковый результат: например, квадраты чисел 2 и −2 равны.

Если зависимость задана формулой, значение получают подстановкой аргумента вместо x. После подстановки выполняют действия в установленном порядке и записывают результат как y или f(x). Например, для y = 2x + 1 при x = 3 получаем y = 2 · 3 + 1 = 7. Подстановка показывает не новое правило, а применение уже заданного правила к конкретному аргументу.

Не всякое число можно подставить в формулу, поэтому у функции есть область определения. Это множество всех x, при которых выражение имеет смысл. Например, в дроби 5/(x − 2) знаменатель не может быть нулём: при x = 2 деление невозможно, значит, это число исключают. Если в формуле есть квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, иначе действительного значения получить нельзя.

Одну функцию можно представить разными способами: формулой, таблицей, графиком или словами. Формула задаёт вычислительное правило, таблица перечисляет некоторые пары аргументов и результатов, а словесное описание объясняет связь обычными словами. График изображает на координатной плоскости точки (x; f(x)), поэтому по нему можно увидеть, как меняется результат. Представления дополняют друг друга: таблица, например, помогает построить отдельные точки графика.

Чтобы найти по графику y для заданного x, от отметки x на горизонтальной оси мысленно проводят вертикаль до графика, а затем читают соответствующую координату y. Двигаться сначала нужно по оси x, потому что именно аргумент задан в условии; затем определяется высота точки. Проверить, является ли график функцией, можно вертикальной прямой: если она пересекает изображение в двух точках, одному x соответствуют два y. Если ни для одного x такого не происходит, график задаёт функцию на показанном промежутке.

На графике ниже каждая вертикальная прямая пересекает линию не более чем в одной точке, поэтому изображена функция.

Способы задания функциональной зависимости и её основные элементы

Сначала определите, что именно дано: правило, список пар или изображение. Затем найдите аргументы и соответствующие им значения, проверяя, не нарушены ли ограничения. Область определения относится к возможным x, а область значений — к получаемым y.

Разбор задач

Задача 1. Для функции y = 3x − 2 найдите значение функции при x = 4 и составьте пару (x; y). В условии уже задано правило и конкретный аргумент, поэтому нужно вычислить результат именно для него. Пара должна содержать сначала аргумент, затем полученное значение функции.

1. В формуле вместо x подставим 4: y = 3 · 4 − 2.
2. Сначала умножим: 3 · 4 = 12, затем вычтем 2: y = 10.
3. Запишем пару в указанном порядке: аргумент 4, значение 10.

Ответ: y = 10; пара (4; 10). Проверка проста: если подставить 4 в исходную формулу ещё раз, снова получится 10.

Задача 2. Найдите область определения функции y = 5/(x − 2) и вычислите её значение при x = 3. Сначала выясним, какие аргументы запрещены, и только после этого подставим заданное число. Это важно, потому что вычисление дроби допустимо лишь при ненулевом знаменателе.

1. Знаменатель равен x − 2. Он не должен быть равен нулю, поэтому x − 2 ≠ 0.
2. Решим условие: x ≠ 2. Значит, область определения — все числа, кроме 2.
3. Подставим x = 3: y = 5/(3 − 2) = 5/1 = 5.

Ответ: область определения — все x, кроме 2; при x = 3 значение функции равно 5. Полученный аргумент 3 допустим, поскольку знаменатель при нём равен 1, а не нулю.

Задача 3. По таблице значений x и y определите, задаёт ли она функцию, и изобразите соответствующие точки на координатной плоскости. Для проверки достаточно проследить, не повторяется ли один x с разными значениями y. Для построения каждая пара из таблицы становится координатами одной точки.

1. Сопоставьте значения в каждом столбце: для каждого x должно быть указано только одно y. Если один x записан несколько раз, сравните соответствующие ему y.
2. Если для повторяющегося x указаны разные y, таблица не задаёт функцию; если y совпадают, единственность не нарушена.
3. Для каждой пары (x; y) найдите на координатной плоскости сначала x по горизонтальной оси, затем y по вертикальной и поставьте точку на их пересечении.

Ответ: таблица задаёт функцию тогда и только тогда, когда каждому значению x соответствует единственное y. Точки, построенные по её парам, дают графическое представление перечисленных значений. Если таблица не приведена в условии, конкретный ответ о ней определить нельзя.

Типичные ошибки

Считать функциональной любую зависимость — ошибка: в произвольной связи одному x могут отвечать несколько y. Часто путают наличие любой связи с однозначностью результата. Проверьте каждое значение x отдельно: если для него нашлись два разных результата, это не функция. Одинаковые значения y у разных аргументов нарушением не являются.

Иногда аргумент называют результатом вычисления, а значение функции — входным числом. Так происходит, когда не следят за порядком действий: сначала выбирают x, затем находят y. Проверка: в записи y = f(x) подставляют именно аргумент вместо x, а полученное число записывают как f(x) или y. Например, при x = 4 для y = 3x − 2 результат равен 10.

При поиске области определения могут забыть исключить запрещённые значения. Обычно это случается, если сразу подставляют числа и не проверяют саму формулу. Найдите места, где действие может стать невозможным: знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение квадратного корня неотрицательно. После этого убедитесь, что указанные аргументы удовлетворяют ограничениям.

По графику иногда считывают значение функции, начиная движение от отметки на оси y, хотя в условии задан x. Это меняет порядок поиска и может привести к другой точке. Сначала найдите заданный аргумент на горизонтальной оси, проведите от него вертикаль к графику и только затем считайте координату y. Для проверки проследите, что выбранная точка действительно имеет требуемую абсциссу.

Связь с другими темами

Для изучения функции нужны координатная плоскость, переменные, подстановка чисел в выражения и область допустимых значений. Эти знания помогают читать формулы, строить точки и отсеивать недопустимые аргументы. Позже понятие функции станет основой для изучения линейной функции, её графика, уравнений и систем уравнений. С помощью функций также описывают зависимости между величинами в геометрии, физике и практических задачах.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому x ставит в соответствие единственное y.
• В записи y = f(x) переменная x — аргумент, а y — значение функции.
• Область определения содержит все допустимые значения аргумента.
• Значение функции находят подстановкой аргумента в правило.
• Функцию можно задать формулой, таблицей, графиком или словесно.
• На графике функции каждой абсциссе соответствует не более одной точки.
• График функции состоит из точек с координатами (x; f(x)).