§ 1. Отрезки касательных

Определения и обозначения

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. На чертеже такую прямую можно распознать по тому, что она касается окружности, но не пересекает её. Это определение позволяет отличить касательную от секущей, у которой две общие точки с окружностью.

Точка касания — общая точка касательной и окружности. Обычно её обозначают буквой A, если касательная касается окружности в точке A. Такое обозначение помогает точно указать место, где проходят и прямая, и окружность.

Отрезок касательной — часть касательной от внешней точки P до точки касания A. Его обозначают PA, потому что концы отрезка — точки P и A. Важно не путать PA с радиусом: PA лежит на касательной, а радиус соединяет центр с окружностью.

Отрезки касательных из одной точки — это PA и PB, проведённые из общей внешней точки P к окружности. Точки касания A и B могут быть разными, поэтому речь идёт о двух разных касательных. Главное свойство таких отрезков: их длины равны.

Как это устроено

Пусть точка P расположена вне окружности с центром O. Из неё можно провести две касательные к окружности: одну через точку A, другую через точку B. Точки A и B являются точками касания, поэтому получаются отрезки PA и PB.

Соединим центр O с точками A и B. Радиус OA перпендикулярен касательной PA, а радиус OB перпендикулярен касательной PB. Причина в том, что перпендикуляр из центра к касательной достигает окружности в единственной точке касания: если бы прямая пересекала окружность иначе, общих точек было бы две.

Поэтому треугольники OAP и OBP прямоугольные: углы при A и B равны 90°. Их гипотенузы OP и OP совпадают, ведь точка P и центр O одни и те же. Катеты OA и OB равны как радиусы одной окружности.

Треугольники OAP и OBP равны по гипотенузе и катету. При этом стороне PA в первом треугольнике соответствует сторона PB во втором. Из равенства треугольников следует главный вывод: PA = PB.

На практике сначала проверяют, что P находится вне окружности и обе прямые действительно касаются её. Затем неизвестную длину приравнивают к известной длине другого отрезка касательной. Если равенство не выполняется, значит, ошибка есть в вычислениях или в построении.

Отрезки касательных из одной точки

Сначала найдите в таблице общую внешнюю точку и две точки касания. Затем сопоставьте каждому отрезку касательной соответствующий радиус. Последняя строка показывает теорему, которую используют при решении задач.

Разбор задач

Задача 1

Из точки P к окружности проведены касательные PA и PB, причём PA = 6 см. Требуется найти PB. Обе касательные выходят из одной внешней точки, поэтому можно применить теорему о равенстве их отрезков.

1. Записываем теорему: PA = PB.
2. Подставляем известную длину: 6 = PB.
3. Указываем единицу измерения.

Ответ: PB = 6 см.

Задача 2

Из точки P проведены касательные PA и PB. Известно, что PA = 2x + 1, а PB = 11. Нужно найти x, поэтому сначала заменяем равенство отрезков равенством их выражений.

1. По теореме PA = PB.
2. Получаем уравнение 2x + 1 = 11.
3. Вычитаем 1: 2x = 10.
4. Делим обе части на 2: x = 5.
5. Проверяем: 2 · 5 + 1 = 11.

Ответ: x = 5.

Задача 3

Окружность с центром O касается сторон угла с вершиной P в точках A и B. Докажем, что OP — биссектриса угла APB. Для этого сравним треугольники, образованные центром, вершиной угла и точками касания.

1. OA ⟂ PA и OB ⟂ PB, поэтому треугольники OAP и OBP прямоугольные.
2. OA = OB как радиусы, а OP — общая гипотенуза.
3. Треугольники равны по гипотенузе и катету, значит, ∠APO = ∠OPB.
4. Равные соседние углы означают, что OP делит угол APB пополам.

Ответ: OP — биссектриса угла APB.

Типичные ошибки

Иногда считают, что равны любые касательные к одной окружности. Теорема действует только для касательных, проведённых из одной внешней точки. Проверьте, совпадает ли исходная точка P у обоих отрезков.

Радиус OA иногда называют отрезком касательной. Это неверно: OA соединяет центр с точкой окружности, а отрезок касательной PA лежит на касательной. Для проверки посмотрите, какой из отрезков имеет конец в центре O.

Можно забыть, что OA и OB перпендикулярны касательным. Без прямых углов нельзя обосновать равенство прямоугольных треугольников. Перед доказательством отметьте углы OAP и OBP как прямые.

Теорему применяют, даже если P лежит на окружности или внутри неё. Для двух касательных точка P должна находиться вне окружности. Проверьте положение P до начала вычислений.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны определения окружности, центра и радиуса, а также представление о касательной и перпендикулярных прямых. В доказательстве используется признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Эти знания связывают геометрию окружности с уже изученными свойствами треугольников.

Равенство отрезков касательных помогает доказывать свойства биссектрисы угла. Оно также используется при вычислении длин в фигурах, содержащих окружность и касательные. Поэтому теорема полезна не только для прямых задач на длины, но и для доказательств.

Что запомнить

• Из одной внешней точки к окружности можно провести две касательные.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
• Если PA и PB — касательные из точки P, то PA = PB.
• Для доказательства сравнивают прямоугольные треугольники с общей гипотенузой OP.