"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Касательная — прямая, которая касается окружности в одной точке, в отличие от секущей, пересекающей её в двух точках. Это понятие помогает находить углы и длины отрезков в геометрических задачах. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, а отрезки касательных из одной внешней точки равны. Эти свойства позволяют распознавать касательные на чертеже и выполнять вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Слово «касательная» подсказывает, что прямая словно касается окружности, не проходя сквозь неё. Если прямая пересекает окружность в двух точках, её называют секущей, поэтому число общих точек помогает различить эти прямые.
Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. На чертеже её обозначают заглавной буквой, например A, и показывают, что точка A лежит и на окружности, и на касательной. Это обозначение нужно, чтобы точно указать место, в котором применяется свойство перпендикулярности радиуса и касательной.
Отрезок касательной — часть касательной, ограниченная внешней точкой и точкой касания. Например, если из точки P проведена касательная, которая касается окружности в точке A, то отрезок касательной — PA: его концы P и A. Уточнение о концах важно, потому что вся прямая бесконечна, а длину можно измерить только у отрезка.
Если прямая проходит через окружность насквозь, она входит в круг и выходит из него, пересекая окружность в двух точках. Касательная устроена иначе: она проходит рядом с кругом и соприкасается с его границей только в одном месте. Поэтому общих точек две у секущей и одна у касательной; это не вопрос внешнего вида рисунка, а точное определение.
Пусть O — центр окружности, A — точка касания, а прямая касается окружности в A. Из центра можно опустить перпендикуляр к этой прямой, и кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряется именно перпендикуляром. Если основание перпендикуляра было бы не A, оно оказалось бы ближе к центру, чем точка окружности A, а значит, внутри окружности. Тогда прямая прошла бы через круг и встретила окружность ещё раз. Поэтому основание перпендикуляра совпадает с A, и OA перпендикулярен касательной.
Верно и обратное рассуждение. Если прямая проходит через точку A окружности и перпендикулярна радиусу OA, то для любой другой точки прямой расстояние до O больше, чем OA: в прямоугольном треугольнике OA — кратчайшая сторона, опущенная к прямой. Значит, другие точки этой прямой лежат вне окружности, а внутри круга прямая не проходит. Следовательно, с окружностью у неё есть только одна общая точка A, и прямая является касательной.
Пусть из внешней точки P проведены касательные PA и PB, а O — центр окружности. Радиусы OA и OB равны, потому что оба являются радиусами одной окружности, и каждый перпендикулярен своей касательной. Треугольники OAP и OBP прямоугольные, имеют общую гипотенузу OP и равные катеты OA и OB. Поэтому треугольники равны, а их соответствующие стороны PA и PB равны.
Чтобы прочитать чертёж, сначала найди центр окружности и отметь радиус: один его конец в центре, другой — на окружности. Затем проверь, где прямая имеет с окружностью одну общую точку, и назови её точкой касания; радиус к ней должен образовывать прямой угол с касательной. Если две касательные выходят из одной внешней точки, обозначь их отрезки от этой точки до касаний и запиши равенство этих отрезков.
| Расположение | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Радиус и касательная в точке касания | Радиус проведён к точке касания | Радиус перпендикулярен касательной |
| Прямая через точку окружности | Прямая перпендикулярна радиусу в этой точке | Прямая является касательной |
| Две касательные из одной внешней точки | Обе касательные проведены из одной точки | Отрезки от внешней точки до касаний равны |
Пользуйся таблицей как подсказкой: сначала найди на чертеже нужное расположение и проверь условие, а затем запиши вывод. В частности, для равенства отрезков убедись, что они начинаются в одной внешней точке. Для перпендикулярности проверь, что радиус проведён именно к точке касания.
Радиус окружности равен 5 см. Касательная проведена в точке A. Найдите угол между радиусом и касательной.
Ответ: 90°.
Из точки P к окружности проведены касательные PA и PB, где A и B — точки касания. Если PA = 7 см, найдите PB.
Ответ: 7 см.
Из точки P к окружности проведены касательные PA и PB. Известно, что PA = 2x + 1, PB = 11, а периметр треугольника PAB равен 30. Найдите x и длину AB.
Ответ: x = 5, AB = 8.
Ошибка: считать касательной любую прямую с общей точкой с окружностью. Так бывает, если ориентироваться на картинку и не пересчитать пересечения; секущая тоже имеет общие точки, но их две. Проверь определение: у касательной ровно одна общая точка, у секущей — две.
Ошибка: проводить радиус к другой точке окружности и считать его перпендикулярным касательной. Перпендикулярность относится только к радиусу, конец которого совпадает с точкой касания. Проверь на чертеже: нужный радиус должен соединять центр именно с этой точкой.
Ошибка: приравнивать отрезки касательных, выходящие из разных точек. Свойство доказывается для двух касательных, проведённых из одной внешней точки, поэтому для разных начал равенство не гарантировано. Перед записью равенства сравни начальные точки обоих отрезков.
Ошибка: путать радиус с отрезком касательной. Радиус идёт от центра до точки окружности, а отрезок касательной — от внешней точки до точки касания; у них разные концы и разные свойства. Проверь, лежит ли один из концов в центре: если да, это радиус, а не отрезок касательной.
Для изучения касательных нужно знать, что такое окружность и радиус, а также понимать, когда прямые перпендикулярны. Без этих понятий нельзя определить точку касания и применить главное свойство радиуса. Далее свойства касательных помогают решать задачи на треугольники, прямые углы и вычисление длин отрезков. В таких задачах часто сначала находят равные или перпендикулярные стороны, а затем используют известные правила для треугольников.
Как отличить касательную от секущей?
Касательная имеет с окружностью одну общую точку, а секущая — две. Если прямая проходит через внутреннюю часть круга, обычно она пересекает окружность в двух точках.
Почему радиус перпендикулярен касательной именно в точке касания?
Центр окружности равноудалён от всех её точек, а точка касания лежит на окружности. Перпендикуляр из центра к касательной проходит именно через точку касания; к другой точке окружности это свойство не относится.
Как доказать, что прямая является касательной?
Нужно проверить, что прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. По обратному свойству такая прямая касается окружности только в этой точке.
Почему две касательные из одной точки имеют равные отрезки?
Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным. Получаются прямоугольные треугольники с общей гипотенузой и равными радиусами, поэтому они равны, а соответствующие отрезки касательных тоже равны.
Можно ли применять равенство отрезков касательных, если они проведены из разных точек?
Нет, это свойство относится к касательным, проведённым из одной и той же внешней точки. Если точки разные, длины отрезков могут не совпадать.
§ 2. Касательные к окружностям
