§ 5. Квадратные корни

Определения и обозначения

Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a. В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен, поэтому отрицательное число не может быть квадратом действительного числа. Значит, квадратный корень из a в этой числовой области существует только при a ≥ 0.

Арифметический квадратный корень √a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Например, √16 = 4, а не −4, хотя квадрат и 4, и −4 равен 16. Это определение позволяет однозначно понимать запись со знаком корня.

Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня. Для квадратного корня оно должно принимать неотрицательное значение, иначе корень не будет действительным числом. Это условие используют, когда находят, при каких значениях переменной выражение имеет смысл.

Радикал — знак корня вместе с подкоренным выражением. Например, в записи √(x + 3) радикалом является вся запись, а подкоренным выражением — x + 3. Скобки показывают, что под знаком корня находится сумма, а не только переменная x.

Как это устроено

Уравнение x² = a спрашивает, какие числа при возведении в квадрат дают a, а знак √ выбирает среди них только неотрицательное. Если a > 0, два противоположных числа дают один квадрат: например, 6² = (−6)² = 36. Поэтому уравнение имеет два корня, тогда как √36 — одно число, 6; при a = 0 решения совпадают, а при a < 0 решений в действительных числах нет.

Из определения арифметического корня сразу следует (√a)² = a при a ≥ 0: корень как раз выбран так, чтобы его квадрат был равен подкоренному числу. Но если под корнем квадрат числа, результат обязан оставаться неотрицательным. И число a, и число −a имеют квадрат a², поэтому из них подходит неотрицательное: √(a²) = |a|.

Корень из произведения неотрицательных множителей можно заменить произведением корней: √(ab) = √a · √b. Правая часть существует и неотрицательна, а её квадрат равен ab; значит, по определению она и есть арифметический корень произведения. Условия a ≥ 0 и b ≥ 0 нужны, чтобы оба корня были определены в действительных числах.

Аналогично, при a ≥ 0 и b > 0 выполняется √(a/b) = √a/√b. Правая часть неотрицательна, а её квадрат равен a/b, поэтому она совпадает с арифметическим корнем частного. Условие b > 0 не позволяет знаменателю обратиться в ноль и одновременно гарантирует существование √b.

Чтобы упростить радикал, ищут в подкоренном выражении множитель, являющийся полным квадратом. Например, √(9a²) = 3|a|: число 3 выходит из-под корня, а √(a²) превращается в модуль. Модуль нужен потому, что выражение под знаком арифметического корня не может стать отрицательным; без дополнительных сведений о переменной просто заменить |a| на a нельзя.

Основные свойства квадратного корня

Перед применением формулы сначала проверь её условия: так можно избежать корня из отрицательного числа или деления на ноль. При выделении квадрата переменной сохрани модуль, если знак переменной не известен. Таблица помогает выбрать подходящее преобразование, но не разрешает раскрывать корень из суммы.

Разбор задач

Задача 1. Найдите √81 и решите уравнение x² = 81. Нужно различить значение арифметического корня и все числа, квадрат которых равен 81. Сначала находим неотрицательное число, затем учитываем оба знака в уравнении.

1. Так как 9² = 81 и 9 ≥ 0, по определению √81 = 9.
2. Уравнение x² = 81 равносильно x² = 9².
3. Квадрат имеют оба числа x = 9 и x = −9, поэтому это все решения.

Ответ: √81 = 9; x = −9 или x = 9.

Задача 2. Упростите √(72a²), если a — действительное число. Выделим из 72 полный квадрат: 72 = 36 · 2. После этого применим свойство корня из произведения, а корень из a² заменим модулем, поскольку знак a неизвестен.

1. Разложим подкоренное выражение: √(72a²) = √(36 · 2 · a²).
2. Выделим корни из неотрицательных множителей: √36 · √2 · √(a²) = 6√2 · |a|.
3. Полученное выражение корректно при любом действительном a, в том числе при a = 0.

Ответ: 6|a|√2.

Задача 3. Упростите √(x + 5) / √(x − 1) и укажите область допустимых значений. Прежде чем применять свойство корня из частного, проверим, что оба корня определены и знаменатель не равен нулю. Знаменатель содержит корень, поэтому для него требуется более строгое условие, чем просто неотрицательность подкоренного выражения.

1. Для числителя нужно x + 5 ≥ 0, то есть x ≥ −5.
2. Знаменатель √(x − 1) должен существовать и быть ненулевым. Это означает x − 1 > 0, или x > 1.
3. Оба условия вместе дают x > 1. Тогда выражение можно записать как √((x + 5)/(x − 1)); оно неотрицательно на найденной области.

Ответ: √((x + 5)/(x − 1)), область допустимых значений: x > 1.

Типичные ошибки

• Считать, что √a может быть отрицательным. Так происходит, когда знак корня смешивают с решением уравнения на квадрат. Проверь определение: арифметический корень всегда неотрицателен, а два знака записывают для решений уравнения.
• Записывать √(a²) = a без условий. Это верно только при a ≥ 0, поэтому такая замена ошибочна при отрицательном a. Подставь, например, a = −3: корень равен 3, а не −3; общая формула содержит |a|.
• Раскрывать корень из суммы как сумму корней. Эту ошибку провоцирует верное свойство для произведения, но сложение устроено иначе. Для проверки возьми 9 и 16: √(9 + 16) = 5, тогда как √9 + √16 = 7.
• Применять свойство корня из частного без проверки условий. Тогда можно получить несуществующий корень или нулевой знаменатель. Отдельно проверь, что подкоренные выражения допустимы и знаменатель исходной дроби не равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с квадратными корнями нужны знания о квадратах чисел, свойствах степеней и решении уравнений вида x² = a. Они помогают понять, почему корень связан с возведением в квадрат, и не путать одно значение √a с полным набором решений уравнения.

Квадратные корни встречаются при преобразовании выражений и решении квадратных уравнений. Они также подготавливают к изучению степеней с дробными показателями: например, √a связывают со степенью a^(1/2) при a ≥ 0. Поэтому аккуратная проверка области допустимых значений понадобится и в следующих темах.

Что запомнить

• В действительных числах √a определён при a ≥ 0.
• Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
• √a — одно число, а уравнение x² = a при a > 0 имеет два решения.
• (√a)² = a при a ≥ 0.
• √(a²) = |a|.
• Корень из произведения и частного можно раскрывать только при соблюдении условий применимости.