"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Квадратный корень из числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Его записывают знаком √a; такое выражение имеет смысл в действительных числах, только если a неотрицательно. Корни помогают находить числа по их квадратам, решать уравнения и упрощать выражения. Важно отличать арифметический корень, который всегда один, от решений уравнения x² = a: при a > 0 их два. Ещё нужно помнить, что √(a²) = |a|, а не всегда a.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a; его обозначают √a. Например, √16 = 4, потому что 4² = 16. Это определение помогает находить число, которое при возведении в квадрат даёт заданное значение.
Арифметический квадратный корень √a определён только при a ≥ 0 и является единственным неотрицательным числом, квадрат которого равен a. Слово «арифметический» подчёркивает, что выбирается только неотрицательное значение. Это различие необходимо, чтобы не путать знак корня с двумя решениями уравнения.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня. Для квадратного корня значение этого выражения должно быть неотрицательным: например, √(x − 2) имеет смысл при x − 2 ≥ 0. Проверка подкоренного выражения показывает, при каких значениях переменных можно работать с формулой.
Иррациональное число нельзя представить в виде дроби, у которой числитель и знаменатель — целые числа. Например, √2 — иррациональное число: оно не равно ни одной такой дроби, хотя его можно приближённо записать десятичной дробью. Это понятие нужно, чтобы отличать точное значение корня от его приближения.
Возведение в квадрат превращает число x в x², а извлечение корня решает обратную задачу: по результату квадрата нужно восстановить исходное неотрицательное число. Поэтому если x² = a и x ≥ 0, то x = √a. Условие x ≥ 0 важно: без него у числа a может быть ещё и отрицательный квадратный корень, но знак √ обозначает только арифметический корень.
Под корнем не может стоять отрицательное число, если мы работаем с действительными числами. Причина в том, что квадрат положительного числа положителен, квадрат отрицательного тоже положителен, а квадрат нуля равен нулю. Поэтому для выражения √a требуется a ≥ 0; при a < 0 действительного числа, квадрат которого равен a, нет.
Например, уравнение x² = 9 спрашивает, какие числа при возведении в квадрат дают 9. Это 3 и −3, так как оба квадрата равны 9, тогда как √9 — только 3. Значит, при решении уравнения x² = a с a > 0 записывают два ответа: x = √a и x = −√a. При a = 0 оба значения совпадают, и остаётся одно решение x = 0.
Если под корнем находится квадрат числа, результатом будет его модуль: √(a²) = |a|. Модуль — это расстояние числа от нуля, поэтому он всегда неотрицателен. Например, при a = −5 получаем √((−5)²) = √25 = 5, а не −5; при a = 5 результат тоже равен 5.
Не все корни являются целыми или рациональными числами. Например, между 1² = 1 и 2² = 4 находится число 2, поэтому √2 лежит между 1 и 2; точнее, 1,4² = 1,96, а 1,5² = 2,25, значит √2 находится между 1,4 и 1,5. Так можно получать приближение, сравнивая подкоренное число с квадратами десятичных дробей.
| Ситуация | Условие | Результат |
|---|---|---|
| Квадратный корень √a | a ≥ 0 | √a ≥ 0 и (√a)² = a |
| Корень из полного квадрата √(b²) | b — действительное число | |b| |
| Уравнение x² = a | a > 0 | x = √a или x = −√a |
| Уравнение x² = 0 | a = 0 | x = 0 |
| Квадратный корень из отрицательного числа | a < 0 | В действительных числах не определён |
Сначала найдите нужную ситуацию в первом столбце, затем проверьте условие во втором. Третий столбец показывает, какой результат или какие решения нужно записать. Особенно внимательно различайте значение √a и решения уравнения x² = a.
Задача 1. Найдите √81. Нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен 81. Проверим известные квадраты: 9² = 81, а число 9 неотрицательно. Поэтому результат соответствует определению арифметического корня.
Ищем число, квадрат которого равен 81: 9² = 81.
Проверяем знак найденного числа: 9 ≥ 0, значит, это подходящее значение корня.
Записываем результат: √81 = 9.
Ответ: 9. Отрицательное число −9 тоже даёт 81 при возведении в квадрат, но оно не является значением арифметического корня. Два знака понадобились бы при решении уравнения x² = 81.
Задача 2. Решите уравнение x² = 25. Теперь требуется найти все числа, квадрат которых равен 25, а не только значение квадратного корня. Число 5 подходит, поскольку 5² = 25. Число −5 тоже подходит: при возведении в квадрат его знак исчезает.
Находим арифметический корень из 25: √25 = 5.
Учитываем оба числа с таким квадратом: x = 5 или x = −5.
Проверяем: 5² = 25 и (−5)² = 25, поэтому оба значения удовлетворяют уравнению.
Ответ: x = 5 или x = −5. Запись x = ±5 кратко обозначает эти два значения. Записывать √25 = ±5 нельзя: само выражение с корнем имеет одно неотрицательное значение.
Задача 3. Упростите √((x − 3)²) при x < 3. Под корнем стоит квадрат выражения, поэтому применяем правило √(a²) = |a|. Здесь вместо a выступает x − 3, а условие задачи помогает раскрыть модуль. Без этого условия оставить выражение просто равным x − 3 было бы нельзя.
Применяем правило к выражению x − 3: √((x − 3)²) = |x − 3|.
Из условия x < 3 следует x − 3 < 0. Значит, выражение внутри модуля отрицательно.
Для отрицательного выражения модуль меняет знак: |x − 3| = −(x − 3) = 3 − x.
Ответ: 3 − x. Проверить преобразование можно, подставив, например, x = 2: исходное выражение равно √1 = 1, и 3 − 2 также равно 1. Проверка подтверждает, что условие x < 3 использовано верно.
Ошибка: записывать √9 = ±3. Так происходит, когда путают значение арифметического корня с решениями уравнения x² = 9. Проверьте, что именно требуется найти: выражение √9 равно 3, а уравнение имеет решения 3 и −3.
Ошибка: считать, что √(a²) = a при любом a. Если a отрицательно, правая часть тоже отрицательна, а квадратный корень не может быть отрицательным; поэтому верно равенство √(a²) = |a|. Для самопроверки подставьте a = −2: слева получится 2, значит, ответом не может быть −2.
Ошибка: извлекать корень из отрицательного числа в действительных числах. Её допускают, забывая, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Проверьте подкоренное выражение до вычислений: если оно меньше нуля, действительного значения у квадратного корня нет.
Ошибка: смешивать √(a²) и (√a)². В первом случае ответ равен |a| и выражение определено для любого действительного a; во втором результат равен a при условии a ≥ 0. Проверяйте скобки и расположение корня: знак корня относится только к тому выражению, которое записано под ним.
Чтобы изучать квадратные корни, нужно уметь возводить числа в квадрат, сравнивать их и пользоваться свойствами действительных чисел. Эти знания помогают проверять результат и определять, допустимо ли значение под корнем. Например, сравнение квадратов позволяет оценить, между какими числами находится √2.
Дальше квадратные корни пригодятся при решении квадратных уравнений и упрощении выражений. Они также нужны при изучении функций, в которых переменная или выражение стоит под знаком корня. Понимание области допустимых значений помогает заранее определить, при каких значениях переменной такие выражения имеют смысл.
Почему квадратный корень из числа всегда неотрицателен?
Знак √ обозначает именно арифметический квадратный корень, а по определению он неотрицателен. Если число возвести в квадрат, результат не изменится при замене числа на противоположное, поэтому знак корня выбирают отдельно.
Чем √9 отличается от решений уравнения x² = 9?
√9 — это одно число, 3: оно неотрицательно и при возведении в квадрат даёт 9. Уравнение x² = 9 имеет два решения, потому что и 3², и (−3)² равны 9: x = 3 и x = −3.
Почему √(a²) равно |a|, а не просто a?
Квадрат числа a равен квадрату числа −a, но квадратный корень должен быть неотрицательным. Модуль |a| как раз равен неотрицательному числу с той же величиной, поэтому √(a²) = |a|.
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому выражение √a определено в действительных числах только при a ≥ 0.
Как проверить, является ли число квадратным корнем из данного числа?
Проверьте два условия: число должно быть неотрицательным, а его квадрат — равняться подкоренному числу. Например, 4 является квадратным корнем из 16, потому что 4 ≥ 0 и 4² = 16.
§ 3. Квадратные корни
