"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен данному числу. Для неотрицательного числа выделяют арифметический корень: он неотрицателен и обозначается √a. Положительное число имеет два квадратных корня, противоположных друг другу, а ноль — только один. Отрицательные числа не имеют квадратных корней в действительных числах. Эти понятия нужны при решении уравнений и преобразовании выражений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен данному числу. Например, 5 и −5 являются квадратными корнями из 25, потому что 5² = 25 и (−5)² = 25. Понятие корня позволяет по известному квадрату восстановить исходное число.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — это его неотрицательный квадратный корень. Он обозначается √a, где a — число под знаком корня. Например, √36 = 6, а не −6, потому что арифметический корень не может быть отрицательным.
Число, записанное под знаком корня, называют подкоренным выражением. В записи √49 подкоренное выражение — 49, а в записи √(x + 2) им является x + 2. От него зависит, можно ли вычислить корень в действительных числах.
В действительных числах квадратный корень определён только для неотрицательного числа. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа не меньше нуля. Поэтому √16 существует, а √(−16) в действительных числах не определён.
Извлечение квадратного корня связано с возведением в квадрат как обратное действие. Если x² = a, то x является квадратным корнем из a, потому что после возведения x в квадрат получается a. Например, из равенства 7² = 49 следует, что 7 — квадратный корень из 49.
У положительного числа два квадратных корня, потому что противоположные числа имеют одинаковые квадраты: b² = (−b)². Если b > 0, то корни числа b² — это b и −b. Знак √ оставляет только неотрицательный вариант, поэтому √(b²) = b, когда b неотрицательно.
У нуля корень только один: √0 = 0. Число 0 не имеет отличного от себя противоположного числа, и 0² = 0. У положительного числа корень существует, потому что можно подобрать неотрицательное число, квадрат которого равен этому числу, например 4² = 16.
Отрицательное число не имеет квадратного корня среди действительных чисел. При умножении положительного числа на себя получается положительный результат, а при умножении отрицательного на отрицательное знаки перемножаются и результат тоже положителен; квадрат нуля равен нулю. Значит, квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Уравнение x² = a при a > 0 означает, что x должен быть одним из двух квадратных корней числа a. Поэтому его решения записывают так: x = ±√a, то есть x = √a или x = −√a. При a = 0 запись x = ±√0 даёт одно и то же значение, поэтому решение только x = 0.
| Число a | Квадратные корни из a | Арифметический квадратный корень √a |
|---|---|---|
| a > 0 | √a и −√a | Положительный корень √a |
| a = 0 | 0 | √0 = 0 |
| a < 0 | В действительных числах не существуют | √a не определён в действительных числах |
Сначала определите знак числа a, а затем выберите строку таблицы. Если a положительно, не забывайте различать два корня и арифметический корень, который является только неотрицательным.
Для нуля отдельный второй корень не появляется, а для отрицательного числа в действительных числах нельзя записать значение √a.
Нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен 49. Проверим квадрат 7: 7² = 49. Число −7 тоже является квадратным корнем из 49, но арифметическим корнем будет именно неотрицательное число.
Ответ: 7.
Нужно найти все числа, квадрат которых равен 36. Поскольку 36 положительно, у него два противоположных квадратных корня. Получаем не только положительное, но и отрицательное решение.
Ответ: x = 6; x = −6.
Нужно выяснить, может ли квадрат действительного числа быть равен −9. Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Поэтому подходящего значения x нет.
Ответ: действительных решений нет.
Ошибка: считать, что √a обозначает сразу оба квадратных корня. Так происходит из-за смешения понятий «квадратные корни» и «арифметический квадратный корень». Проверьте запись: √25 = 5, а оба корня нужно записать как 5 и −5.
Ошибка: писать √a = ±√a. Знак ± используется при решении уравнения x² = a, когда перечисляют два значения x, но не в значении арифметического корня. Самопроверка проста: выражение √a должно обозначать одно неотрицательное число.
Ошибка: утверждать, что отрицательное число имеет действительный квадратный корень. Эту ошибку допускают, забывая, что минус при возведении отрицательного числа в квадрат исчезает. Проверьте знак: если подкоренное число меньше нуля, действительного арифметического корня нет.
Ошибка: при решении x² = a при a > 0 указывать только √a. Это значит найти лишь положительный корень и забыть его противоположное число. Подставьте оба значения в уравнение или используйте запись x = ±√a.
До изучения корней нужно уметь возводить положительные и отрицательные числа в квадрат и выполнять действия с ними. Квадратный корень понадобится при решении квадратных уравнений, где из равенства x² = a получают x = ±√a. Далее эти знания помогут изучать свойства арифметического корня, преобразовывать выражения с корнями и находить приближённые значения корней, например √2.
Почему у положительного числа два квадратных корня?
Если число b положительно, то b² и (−b)² равны одному и тому же числу, потому что знак исчезает при умножении. Поэтому у положительного числа есть два корня: противоположные числа b и −b.
Почему знак √ обозначает только положительный корень?
Знак √ по определению обозначает арифметический квадратный корень, то есть неотрицательное число. Поэтому √25 = 5, а −5 записывают отдельно как второй корень числа 25.
Чем квадратный корень отличается от арифметического квадратного корня?
Квадратными корнями числа называют все числа, квадраты которых равны этому числу. Арифметический квадратный корень — только неотрицательный из них, поэтому при a > 0 это √a.
Имеет ли отрицательное число квадратный корень?
В действительных числах отрицательное число квадратного корня не имеет. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому равенство x² = −9 невозможно.
Почему при решении уравнения x² = 25 нужно записать два ответа?
И число 5, и число −5 после возведения в квадрат дают 25. Поэтому решения уравнения — x = 5 и x = −5, или кратко x = ±√25 = ±5.
3.1. Понятие квадратного корня
