"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Его записывают знаком √, а число или выражение под этим знаком называют подкоренным. Корень в действительных числах можно извлечь только из неотрицательного числа. Важно отличать значение √a от решений уравнения x² = a: при положительном a уравнение имеет два противоположных корня, а знак √ обозначает только один — неотрицательный. Это понятие помогает вычислять выражения и решать квадратные уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Например, число 4 — арифметический корень из 16, потому что 4² = 16 и 4 не меньше нуля. Определение применяют только к числам a ≥ 0: у отрицательного числа нет действительного квадратного корня.
Знак √ называют знаком квадратного корня; под ним записывают арифметический квадратный корень. Например, √16 читают «квадратный корень из шестнадцати», и запись означает одно число — 4. Это обозначение помогает кратко записать результат обратного к возведению в квадрат действия, не забывая о требовании неотрицательности.
Подкоренное выражение — это число или выражение, записанное под знаком корня. В записи √a подкоренное выражение — a, а в записи √(x + 3) — x + 3. Чтобы такой корень имел смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно принимать значение не меньше нуля; это условие нужно проверять до вычислений.
Квадрат числа — это произведение числа на самого себя. Если число положительное, квадрат положителен; если оно отрицательное, произведение двух отрицательных чисел тоже положительно; квадрат нуля равен нулю. Значит, квадрат любого действительного числа неотрицателен, и получить отрицательное число возведением в квадрат нельзя. Поэтому арифметический корень в действительных числах определяют только для a ≥ 0.
Если a > 0, существуют два числа, квадрат которых равен a: одно положительное, другое отрицательное. Они противоположны, потому что при возведении в квадрат знак числа исчезает: например, 6² = (−6)². В определении корня специально выбирают неотрицательное число, чтобы √a всегда обозначало одно конкретное значение. Уравнение x² = a устроено иначе: оно спрашивает обо всех числах, которые подходят, поэтому при a > 0 учитывает оба знака.
Проверить предполагаемое значение корня можно прямо по определению. Сначала убедись, что ответ неотрицателен, а затем возведи его в квадрат и сравни результат с подкоренным числом. Например, для √36 число 6 подходит, потому что 6 ≥ 0 и 6² = 36. Число −6 тоже даёт квадрат 36, но проверку первого условия не проходит и потому не является значением арифметического корня.
Чтобы найти корень из полного квадрата натурального числа, подбери число, квадрат которого равен подкоренному. Например, 7² = 49, поэтому √49 = 7; при проверке квадрат результата снова должен дать 49. Для нуля подходит только 0, так как 0² = 0, следовательно, √0 = 0. Для единицы подходит 1, потому что 1² = 1 и это неотрицательное число, значит, √1 = 1.
Запись √a и уравнение x² = a отвечают на разные вопросы: первая задаёт значение арифметического корня, второе требует найти все подходящие x. При a > 0 запись √a обозначает одно положительное число, а уравнение имеет два решения: √a и −√a. При a = 0 оба подхода дают число 0, а при a < 0 ни корень, ни действительные решения уравнения не существуют. Такое различие помогает не приписывать знаку корня лишнее решение.
| Ситуация | Значение арифметического корня √a | Решения уравнения x² = a |
|---|---|---|
| a > 0 | Одно положительное число | Два числа: √a и −√a |
| a = 0 | 0 | Одно решение: 0 |
| a < 0 | В действительных числах не определён | Действительных решений нет |
Сначала определи знак a, а затем смотри в соответствующую строку. Столбец со значением корня показывает, что обозначает запись √a, а последний столбец — все решения уравнения. Так проще не перепутать одно значение корня с двумя противоположными решениями.
Задача 1. Найдите √49 и объясните, почему ответ подходит.
Ответ: √49 = 7.
Задача 2. Сравните √64 и −√64.
Ответ: √64 = 8, −√64 = −8; значит, √64 > −√64.
Задача 3. Решите уравнение x² = 81 и сравните ответ со значением √81.
Ответ: уравнение имеет решения 9 и −9, а √81 = 9. Значение корня совпадает только с положительным решением уравнения.
Ошибка: считать, что √a может быть отрицательным. Так думают, потому что уравнение x² = a при a > 0 действительно имеет отрицательное решение; но знак √ обозначает только арифметический корень. Проверяй ответ по определению: он должен быть неотрицательным, а его квадрат — равняться a.
Ошибка: записывать √a = ±b. Знак ± часто встречается при перечислении решений уравнения x² = a, поэтому его переносят на значение корня, хотя это разные записи. Для самопроверки найди, на какой вопрос отвечаешь: если требуется √a, выбирай неотрицательное число; если решаешь уравнение, учитывай оба знака при a > 0.
Ошибка: считать, что √(−a) существует в действительных числах при a > 0. В этом случае подкоренное выражение −a отрицательно, а квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Перед извлечением корня проверь знак всего выражения под знаком √; отрицательное значение означает, что действительного корня нет.
Ошибка: без условия писать √(a²) = a. Такое рассуждение верно только при a ≥ 0, а само a может быть отрицательным. Арифметический корень неотрицателен, поэтому √(a²) = |a|: например, при a = −3 получится 3, а не −3. Проверяй знак переменной или используй модуль.
Для работы с корнями нужно уметь возводить числа в квадрат и знать, что квадрат действительного числа неотрицателен. Эти факты позволяют проверять, подходит ли найденное значение, и понимать, почему корень из отрицательного числа не определён в действительных числах. Без учёта знака легко перепутать значение корня с другим числом, имеющим такой же квадрат.
Извлечение квадратного корня связано с возведением в квадрат как обратное действие: по квадрату ищут исходное число. Но это действие учитывает ограничение на знак и возвращает неотрицательный результат. Поэтому при решении уравнений одного извлечения корня недостаточно: нужно отдельно учесть все значения неизвестного.
Арифметический квадратный корень понадобится при вычислении выражений с корнями и решении квадратных уравнений. В уравнениях важно различать запись √a и пару решений, а в выражениях — проверять, что подкоренное выражение неотрицательно. Это помогает правильно выбирать допустимые значения и не терять решения.
Почему из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень?
Квадрат любого действительного числа неотрицателен: при умножении числа на себя результат не может быть меньше нуля. Поэтому ни одно действительное число в квадрате не даст отрицательное число, и арифметический корень из него в действительных числах не определён.
Почему √25 равно 5, а не ±5?
Знак √ обозначает арифметический корень, а он по определению неотрицателен. Число 5 подходит, потому что 5² = 25; −5 — другое решение уравнения x² = 25, но не значение √25.
Чем арифметический квадратный корень отличается от решения уравнения x² = a?
√a — одно неотрицательное число, квадрат которого равен a. Если a > 0, уравнение x² = a имеет два решения: √a и −√a; если a = 0, решение одно, а если a < 0, действительных решений нет.
Может ли значение арифметического квадратного корня быть отрицательным?
Нет. Неотрицательность входит в определение арифметического квадратного корня, поэтому √a всегда равен нулю или положительному числу, когда он определён.
Почему √(a²) не всегда равно a?
Корень √(a²) должен быть неотрицательным, а само число a может быть отрицательным. Поэтому √(a²) = |a|: при a ≥ 0 результат равен a, а при a < 0 — числу −a.
3.2. Арифметический квадратный корень
