"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен данному числу. Арифметический квадратный корень √a выбирают неотрицательным, поэтому для положительного a уравнение x² = a имеет два решения, а значение √a только одно. Корни существуют среди действительных чисел лишь при a ≥ 0. Это понятие помогает находить неизвестные стороны и решать уравнения, а величину корня можно оценить, сравнив подкоренное число с квадратами целых чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число b называется квадратным корнем из числа a, если b² = a. Иными словами, квадрат b должен дать число a: например, 4 — квадратный корень из 16, потому что 4² = 16. Это определение описывает свойство числа, но не говорит, что такой корень только один. Оно помогает проверять, подходит ли предложенное число: достаточно возвести его в квадрат.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это его неотрицательный квадратный корень. Его обозначают √a, где знак √ называют знаком радикала, а выражение под ним — подкоренным выражением. Например, √16 = 4, поскольку 4² = 16 и 4 неотрицательно. Такое обозначение всегда задаёт одно определённое значение.
Арифметический корень √a и все корни уравнения x² = a — не одно и то же. Если a > 0, уравнение имеет два решения: x = √a и x = −√a, а знак √a обозначает только положительное из них. Например, √9 = 3, тогда как уравнение x² = 9 имеет решения 3 и −3. Это различие нужно учитывать, когда переходят от корня к решению уравнения.
Если a = 0, то и арифметический корень, и единственное решение уравнения x² = 0 равны нулю. Если a < 0, арифметический квадратный корень в действительных числах не определён. Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Условие a ≥ 0 сразу показывает, когда можно использовать запись √a.
Квадратный корень из отрицательного числа не существует среди действительных чисел, потому что квадрат любого такого числа неотрицателен. Если число положительное, квадрат положительного числа положителен, а квадрат отрицательного тоже положителен: например, (−3)² = 9. Ноль в квадрате остаётся нулём. Поэтому равенство b² = a невозможно при a < 0, и запись √a для отрицательного a в этой теме не имеет действительного значения.
Для любого a ≥ 0 арифметический корень существует и только один. На неотрицательной полуоси значения x² растут: если 0 ≤ x₁ < x₂, то x₁² < x₂²; при этом квадраты начинаются с 0 и могут стать больше любого заданного числа. Поэтому каждому неотрицательному a соответствует ровно одно неотрицательное число, квадрат которого равен a. Это и есть √a.
В определении выбирают неотрицательный корень, чтобы знак √a обозначал одно число, а не сразу два. У положительного числа a есть два квадратных корня, противоположных по знаку, но для записи одного значения нужен общий выбор. Выбор неотрицательного числа согласуется с равенством (√a)² = a: при возведении в квадрат знак исчезает, и получается исходное подкоренное число. Например, √36 = 6, и 6² = 36.
При a = 0 арифметический корень равен 0, потому что 0² = 0, а другого числа с нулевым квадратом нет. При a > 0 корнями уравнения x² = a являются √a и −√a: оба числа при возведении в квадрат дают a. Например, x² = 49 имеет решения 7 и −7, но √49 = 7. Так разделяют вычисление арифметического корня и поиск всех решений уравнения.
Чтобы понять, между какими целыми числами находится корень, сравнивают подкоренное число с квадратами этих чисел. Например, 25 < 30 < 36, а 25 = 5² и 36 = 6². На неотрицательных числах квадрат возрастает, поэтому из этого сравнения следует 5 < √30 < 6. Такой способ позволяет оценить корень, даже если его точное значение трудно вычислить.
| Ситуация | Что означает | Условие и результат |
|---|---|---|
| Квадратный корень b из a | Число b, квадрат которого равен a | b² = a |
| Арифметический квадратный корень √a | Неотрицательный квадратный корень из a | a ≥ 0; √a ≥ 0; (√a)² = a |
| Уравнение x² = a при a > 0 | Ищутся все числа, квадрат которых равен a | Два корня: x = √a и x = −√a |
| Уравнение x² = 0 | Ищется число, квадрат которого равен нулю | Единственный корень: x = 0 |
Сначала определите, что требуется найти: значение √a или все решения уравнения x² = a. Затем проверьте условие на подкоренное число: для арифметического корня оно должно быть неотрицательным. Если a > 0 и решается уравнение, не забудьте оба знака у корней.
Здесь нужно выполнить две проверки: найти арифметический корень и отдельно проверить отрицательное число. Знак √ задаёт неотрицательное значение, поэтому ответ на первую часть не может быть −8. Но это не мешает числу −8 быть одним из квадратных корней числа 64.
Ответ: √64 = 8; −8 является квадратным корнем из 64, но не является арифметическим корнем.
Уравнение требует найти все числа, квадрат которых равен 49, а не только арифметический корень. Поскольку 7² = 49, подходят число 7 и противоположное ему число −7. После этого сравним полученный набор решений с одним значением, обозначенным знаком корня.
Ответ: x = 7 и x = −7; √49 = 7.
Точный ответ не требуется: достаточно найти два соседних целых числа, квадраты которых охватывают 70. Начнём с квадратов 8 и 9, поскольку их значения близки к 70. Так как квадрат возрастает на неотрицательных числах, сравнение квадратов сразу задаст границы корня.
Ответ: √70 находится между 8 и 9.
Ошибка: записывать √a = ±b, если b² = a. Так путают обозначение одного арифметического корня с поиском всех решений уравнения. Сам знак ± нужен при решении x² = a для a > 0, а √a — только неотрицательное число. Для проверки спросите себя, обозначен ли знак корня или требуется решить уравнение.
Ошибка: считать, что √(−a) существует в действительных числах при a > 0. Вероятно, знак корня воспринимают как операцию, которую можно выполнить с любым числом. Но квадрат действительного числа не бывает отрицательным, поэтому отрицательное подкоренное число не подходит. Проверьте, что под знаком √ стоит число не меньше нуля.
Ошибка: считать, что уравнение x² = 0 имеет два различных корня. Запись с противоположными знаками может создать впечатление, будто всегда получаются два ответа. Здесь оба знака дают одно и то же число: 0 = −0. Подставьте найденные значения в уравнение и проверьте, различаются ли они.
Ошибка: называть отрицательное число арифметическим корнем из положительного. Отрицательное число действительно может иметь тот же квадрат, что и положительное, поэтому его принимают за значение √a. Однако арифметический корень по определению неотрицателен. Проверьте знак ответа и подставьте его квадрат: отрицательное число может быть корнем уравнения, но не значением арифметического корня.
Для работы с квадратными корнями нужно уметь возводить числа в квадрат и решать простейшие уравнения вида x² = a. Эти навыки помогают отличать значение √a от всех решений уравнения. Далее понятие корня пригодится при изучении квадратных уравнений и преобразовании выражений с корнями. Оно также встречается в задачах на вычисление длин, например при поиске стороны по известному квадрату её длины.
Почему квадратный корень из отрицательного числа не является действительным числом?
Квадрат любого действительного числа неотрицателен: число, умноженное само на себя, не может дать отрицательный результат. Поэтому нет действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу.
Чем арифметический квадратный корень отличается от корней уравнения x² = a?
Арифметический квадратный корень √a — это одно неотрицательное число. Если a > 0, уравнение x² = a имеет два решения: √a и −√a.
Почему √25 равно 5, а не ±5?
Знак корня обозначает арифметический квадратный корень, который по определению неотрицателен. Число 5 — это значение √25; оба числа 5 и −5 являются решениями уравнения x² = 25.
Сколько корней у уравнения x² = 0?
У этого уравнения один корень: x = 0. Числа 0 и −0 совпадают, поэтому двух различных решений нет.
Как определить, между какими целыми числами находится √30?
Сравните 30 с квадратами соседних целых чисел: 5² = 25, а 6² = 36. Так как 25 < 30 < 36, получаем 5 < √30 < 6.
§ 5. Арифметический квадратный корень
