"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен данному. У положительного числа два квадратных корня, но знак √ обозначает только неотрицательный из них: √a. Такой корень называют арифметическим. Он существует в действительных числах, если подкоренное число неотрицательно. Понимание этих правил помогает решать уравнения вида x² = a, проверять корни и упрощать выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен данному числу. Например, 4 и −4 — квадратные корни из 16, потому что 4² = 16 и (−4)² = 16. У положительного числа есть два квадратных корня, противоположных друг другу. Это определение помогает находить числа, которые при возведении в квадрат дают известный результат.
Арифметический квадратный корень — неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа. Например, из двух корней числа 16 арифметическим является 4, а не −4. Такой выбор нужен, чтобы под корнем стояло одно определённое значение, а не два. Ноль тоже подходит: он неотрицателен и является квадратным корнем из нуля.
Знак √ обозначает арифметический квадратный корень: √a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Поэтому √16 = 4, а не ±4. Знак корня позволяет кратко записывать выбранное неотрицательное значение. Если нужны оба корня уравнения, это отдельно показывают записью x = ±√a.
Подкоренное выражение — число или выражение, записанное под знаком корня. В записи √25 подкоренное выражение — 25, а в √(x + 3) — выражение x + 3. Для арифметического квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это условие сразу показывает, когда запись имеет смысл в действительных числах.
Квадраты противоположных чисел совпадают, потому что при умножении минусы сокращаются: (−b) · (−b) = b · b. Поэтому если b² = a, то и (−b)² = a. Например, 6² = 36 и (−6)² = 36, так что у 36 есть два квадратных корня. При a > 0 эти корни различны и противоположны.
Из пары корней для арифметического выбирают неотрицательный, чтобы у каждого допустимого подкоренного числа было ровно одно значение корня. Это соглашение отражено в знаке √: запись √a не означает «плюс или минус», а задаёт конкретное неотрицательное число. Например, √49 = 7; число −7 тоже имеет квадрат 49, но не равно √49. Если нужны оба значения, их записывают отдельно.
В действительных числах квадрат любого числа неотрицателен: положительное число, умноженное на себя, даёт положительный результат, а квадрат нуля равен нулю. Поэтому число под знаком арифметического корня не может быть отрицательным. Условие существования √a — a ≥ 0. Если под корнем стоит выражение, нужно проверить, при каких значениях переменной оно неотрицательно.
Уравнение x² = a и запись √a отвечают на разные вопросы. Уравнение при a > 0 ищет все числа с квадратом a, поэтому имеет два решения: x = √a и x = −√a. Знак корня, напротив, обозначает лишь первое, неотрицательное значение. Например, у уравнения x² = 25 два решения, а √25 — одно число.
Извлечение корня связано с возведением в квадрат как обратное действие, если учитывать неотрицательное значение корня. Для точного квадрата результат можно найти сразу: √64 = 8, поскольку 8² = 64. Для числа, не являющегося точным квадратом, корень всё равно существует при неотрицательном подкоренном числе, хотя он может быть нецелым: √2 — неотрицательное число, квадрат которого равен 2. Проверка квадратом помогает убедиться в точном ответе.
| Что сравниваем | Квадратный корень из a | Арифметический квадратный корень из a |
|---|---|---|
| Условие для a | a ≥ 0 в действительных числах | a ≥ 0 в действительных числах |
| Сколько значений при a > 0 | Два | Одно |
| Знак значения | Положительный и отрицательный | Неотрицательный |
| Обозначение | √a и −√a | √a |
| Связь с квадратом | Каждое значение в квадрате даёт a | (√a)² = a |
Сначала определите, спрашивают ли все квадратные корни или только арифметический. Если стоит знак √, выбирайте неотрицательное значение; если нужно решить уравнение x² = a при a > 0, укажите оба корня. Для a = 0 оба подхода дают одно значение — ноль.
Проверим числа по определению: квадрат предполагаемого корня должен дать 16. Затем отделим вопрос о двух квадратных корнях от вопроса о значении арифметического корня. Так не перепутаем проверку корней со значением знака √.
Возведём 4 в квадрат: 4² = 16. Значит, 4 — квадратный корень из 16.
Возведём −4 в квадрат: (−4)² = 16. Значит, −4 тоже квадратный корень из 16.
Из этих двух чисел неотрицательно только 4. Поэтому √16 = 4.
Ответ: оба числа, 4 и −4, являются квадратными корнями числа 16; √16 = 4.
В уравнении нужно найти все значения x, квадрат которых равен 49. Для арифметического корня нужно выбрать только неотрицательное число. Сначала находим значение корня, а затем используем его для решения уравнения.
Так как 7² = 49, арифметический корень равен √49 = 7.
Число −7 тоже подходит уравнению, поскольку (−7)² = 49. Поэтому нельзя ограничиваться только положительным решением.
Записываем оба решения уравнения: x = 7 или x = −7. Отдельно значение √49 остаётся равным 7.
Ответ: x = ±7; √49 = 7.
Для каждого выражения сначала проверим подкоренное число. Если оно неотрицательно, ищем неотрицательное число, квадрат которого ему равен. Если подкоренное число отрицательно, действительного арифметического квадратного корня нет.
Поскольку 9² = 81 и 9 неотрицательно, √81 = 9.
Квадрат нуля равен нулю, поэтому √0 = 0.
Подкоренное число −9 отрицательно. Ни одно действительное число при возведении в квадрат не даёт −9, поэтому √(−9) в действительных числах не определён.
Ответ: √81 = 9, √0 = 0; √(−9) не имеет смысла в действительных числах.
Ошибка: считать, что √a имеет два значения. Так происходит, когда знак корня смешивают с решением уравнения x² = a. Проверяйте обозначение: √a — только неотрицательное число, а два решения записывают как x = ±√a.
Ошибка: записывать √(a²) = a без условия a ≥ 0. Такое равенство верно лишь для неотрицательного a, потому что арифметический корень не может быть отрицательным. В общем случае √(a²) = |a|: например, при a = −3 получаем √9 = 3, а не −3.
Ошибка: извлекать в действительных числах корень из отрицательного подкоренного числа. Обычно забывают, что квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Перед вычислением проверьте знак подкоренного выражения; например, √(−9) в действительных числах не определён.
Ошибка: при решении x² = a, где a > 0, записывать только x = √a. Это происходит из-за путаницы между одним арифметическим корнем и всеми решениями уравнения. Подставьте в исходное уравнение и √a, и −√a: оба числа дают квадрат a, поэтому нужны оба решения.
Для работы с квадратными корнями нужно уметь возводить числа в квадрат, понимать, какие числа называют противоположными, и решать простейшие уравнения. Эти знания позволяют проверить корень и не потерять отрицательное решение уравнения x² = a. Например, противоположные числа имеют одинаковые квадраты.
Дальше квадратные корни пригодятся при решении квадратных уравнений и упрощении выражений с корнями. Умение отличать √a от двух решений уравнения помогает правильно записывать ответы. Проверка условий под корнем помогает понять, при каких значениях переменной выражение определено.
Почему у числа 25 два квадратных корня, а √25 только одно значение?
И 5, и −5 при возведении в квадрат дают 25, поэтому у числа 25 два квадратных корня. Знак √ обозначает только неотрицательный корень, значит, √25 = 5.
Может ли арифметический квадратный корень быть отрицательным?
Нет, арифметический квадратный корень по определению неотрицателен. Например, √36 = 6, а число −6 — второй квадратный корень из 36, но не значение √36.
Почему нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах?
Квадрат любого действительного числа неотрицателен: при умножении числа на себя результат не меньше нуля. Поэтому не существует действительного числа, квадрат которого равен, например, −9.
Чем уравнение x² = 36 отличается от выражения √36?
Уравнение x² = 36 требует найти все числа, квадрат которых равен 36, поэтому его решения — 6 и −6. Выражение √36 уже обозначает одно определённое число: 6.
Как проверить, что число является квадратным корнем данного числа?
Нужно возвести предполагаемый корень в квадрат и проверить, получилось ли данное число. Например, 4 — квадратный корень из 16, потому что 4² = 16; −4 тоже подходит, поскольку (−4)² = 16.
12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
