"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Уравнение x² = a помогает найти числа, квадрат которых равен заданному числу a. Его решение зависит от знака правой части: квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Поэтому при отрицательном a корней нет, при нуле есть один корень, а при положительном a — два противоположных корня. Чтобы решать такие уравнения, нужно понимать, что обозначает √a, и не забывать проверять оба возможных значения переменной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение x² = a — уравнение, в котором требуется найти значения x, квадрат которых равен заданному числу a. Здесь x — переменная, то есть неизвестное число, а a — заданное число. Такая запись позволяет сразу понять, что нужно сравнить квадрат неизвестного с числом справа. Знание знака a помогает определить, сколько решений может быть.
Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, для уравнения x² = 25 число 5 является корнем, потому что 5² = 25. Но проверять нужно не только одно удобное значение: у уравнения могут быть несколько корней. Это определение помогает отличить найденные решения от чисел, которые лишь выглядят подходящими.
Квадратный корень из неотрицательного числа a — неотрицательное число, квадрат которого равен a; его обозначают √a. Например, √25 = 5, потому что 5² = 25, а само значение корня берут неотрицательным. Такое обозначение помогает коротко записать один из возможных корней уравнения. Оно применимо в действительных числах только при a ≥ 0.
Противоположные числа — числа, равные по модулю и имеющие разные знаки; если a > 0, числа √a и −√a противоположны. Например, 5 и −5 одинаково удалены от нуля, но расположены по разные стороны от него. Их квадраты равны, поскольку при возведении в квадрат оба знака дают положительный результат. Поэтому при положительном a нужно учитывать оба числа, а не только √a.
Решение уравнения x² = a начинается с вопроса: может ли квадрат числа равняться числу справа? Квадрат действительного числа — это произведение числа на само себя, поэтому он не бывает отрицательным. Если взять положительное число, его квадрат положителен; если отрицательное — квадрат тоже положителен, а квадрат нуля равен нулю. Значит, знак a заранее показывает, возможны ли решения и сколько их искать.
Если a < 0, уравнение не имеет корней среди действительных чисел. Причина не в том, что неизвестное нельзя выбрать отрицательным: отрицательное число при возведении в квадрат также даёт положительный результат. Например, (−3)² = 9, а не −9. Поэтому никакая подстановка действительного x не сделает равенство x² = −9 верным.
Если a = 0, уравнение имеет единственный корень x = 0. Квадрат числа равен нулю только в том случае, когда само число равно нулю: любое ненулевое число при умножении на себя даёт положительный результат. Например, 0² = 0, а 2² = 4 и (−2)² = 4. Записи +0 и −0 не дают двух разных решений, потому что обе обозначают одно число.
Если a > 0, уравнение имеет два корня: √a и −√a. По определению квадратного корня (√a)² = a, а квадрат противоположного числа тоже равен a: (−√a)² = a. Эти значения различны, поскольку √a положителен, а −√a отрицателен. Например, для a = 25 подходят 5 и −5, и других действительных чисел с квадратом 25 нет.
Итак, число a задаёт количество корней уравнения: при a < 0 корней нет, при a = 0 корень один, при a > 0 корней два. Это следует из того, что квадрат положительного числа и квадрат соответствующего отрицательного числа совпадают, а нулю соответствует только ноль. Поэтому перед вычислениями полезно сначала проверить знак правой части. Такая проверка предотвращает попытки извлечь корень из отрицательного числа в действительных числах и помогает не пропустить решение.
| Условие | Корни уравнения | Количество корней |
|---|---|---|
| a < 0 | Корней нет | 0 |
| a = 0 | x = 0 | 1 |
| a > 0 | x = √a и x = −√a | 2 |
Сначала найдите строку, условие которой совпадает со знаком и значением a в вашей задаче. Затем прочитайте соответствующие корни и их количество. Если a положительно, запишите оба значения с разными знаками; если равно нулю, не считайте ноль дважды.
Решите уравнение x² = 25. Правая часть положительна, значит, можно ожидать два противоположных корня. Найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 25, и затем учтём число с противоположным знаком.
Ответ: x = 5 или x = −5. Оба числа являются корнями, потому что при подстановке каждое превращает уравнение в верное равенство. Запись x = ±5 кратко обозначает эти два решения.
Решите уравнение x² = 0. Здесь правая часть равна нулю, поэтому нужно рассмотреть отдельный случай, а не записывать два различных корня. Квадрат любого ненулевого числа положителен, следовательно, нулевое значение квадрата возможно только при x = 0.
Ответ: x = 0. Это единственный корень уравнения. Запись x = ±0 не добавила бы нового решения, так как +0 и −0 — одно и то же число.
Определите число корней уравнения x² = −9 и объясните ответ. Сперва посмотрим на знак правой части: число −9 отрицательное. Это сразу позволяет проверить возможность равенства, не подбирая значения x.
Ответ: корней нет. Даже если взять отрицательное x, его квадрат будет положительным, например, (−3)² = 9. Поэтому уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
При a > 0 иногда записывают только x = √a и забывают корень −√a. Так происходит, если квадратный корень принимают за полный ответ уравнения, хотя √a обозначает только неотрицательное число. Проверяйте, можно ли взять противоположное значение: его квадрат будет тем же. В ответе должны быть оба корня, например, для x² = 25 это 5 и −5.
При a = 0 могут написать два корня: +0 и −0. Ошибка возникает из-за механического применения записи ±√a без проверки, дают ли знаки разные числа. Но +0 и −0 совпадают, поэтому корень уравнения x² = 0 только один. Для самопроверки сравните значения, а не количество символов в записи.
Для a < 0 иногда пытаются извлечь квадратный корень из отрицательного числа. В действительных числах квадратный корень определён только для неотрицательного подкоренного числа, а квадрат самого x не может быть отрицательным. Поэтому такой способ не даёт действительного решения уравнения. Сначала проверяйте знак a: при отрицательном значении сразу указывайте, что корней нет.
Ещё одна ошибка — путать √a и ±√a. Знак √ обозначает неотрицательное число, а ± перед ним означает два возможных значения переменной при a > 0. Путаница появляется, если считать, что знак корня сам по себе включает оба знака. Проверка обозначений проста: отдельно запишите x = √a и x = −√a, затем подставьте оба значения в исходное уравнение.
Для решения уравнения x² = a нужны знания о квадрате числа и умение возводить числа в квадрат. Особенно важно помнить, что квадрат действительного числа неотрицателен: это объясняет отсутствие корней при отрицательной правой части. Тема также опирается на понятие квадратного корня и его обозначение √a. Эти знания пригодятся при решении более сложных уравнений, где сначала нужно преобразовать выражение к виду x² = a.
Почему квадрат числа не может быть отрицательным?
При возведении числа в квадрат оно умножается само на себя. Произведение двух одинаковых чисел неотрицательно: например, и 3 · 3, и (−3) · (−3) больше нуля.
Почему при положительном a у уравнения два корня?
Если a > 0, квадратный корень √a положителен, и его квадрат равен a. Число −√a противоположно ему, но при возведении в квадрат знак минус исчезает, поэтому квадрат тоже равен a.
Почему уравнение x² = 0 имеет только один корень?
Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Записи +0 и −0 обозначают одно и то же число, поэтому корень один.
Что означает запись x = ±√a?
Знак ± означает, что нужно рассмотреть оба значения: x = √a и x = −√a. Такая запись применяется при a > 0, когда уравнение имеет два противоположных корня.
Может ли уравнение x² = a не иметь корней?
Да, если a < 0. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому он не может равняться отрицательному числу.
13. Уравнение х2 = а
