"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Квадратный корень – это число, которое при умножении само на себя даёт заданное число. Эта операция нужна, чтобы находить длины сторон фигур, решать уравнения и многое другое. В этом параграфе мы разберемся, что такое квадратный и арифметический квадратный корень, как их обозначать и вычислять, а также какие свойства они имеют.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из числа *a* – это число, которое при возведении в квадрат даёт *a*. Например, квадратным корнем из 9 является число 3, так как 3² = 9, но также квадратным корнем из 9 является и -3, так как (-3)² = 9. Это определение важно, потому что оно показывает, какое число нужно найти, чтобы восстановить исходное число после возведения в квадрат.
Арифметический квадратный корень из числа *a* – это неотрицательное число, которое при возведении в квадрат даёт *a*. То есть, из двух квадратных корней числа *a* мы выбираем только положительное. Например, арифметическим квадратным корнем из 9 является только 3, так как мы рассматриваем только неотрицательные числа. Это позволяет однозначно определить результат операции извлечения корня.
Обозначение арифметического квадратного корня: √*a*, где *a* ≥ 0. Символ √ называется знаком радикала. Он возник исторически как сокращенное написание буквы 'r', обозначавшей 'radix' (корень). Использование этого обозначения позволяет кратко и удобно записывать арифметический квадратный корень.
Область допустимых значений подкоренного выражения: *a* ≥ 0. Под корнем не может быть отрицательного числа, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Это ограничение необходимо для того, чтобы арифметический квадратный корень был определен в области действительных чисел.
Изучение квадратных корней возникло из необходимости решать геометрические задачи. Например, древние греки хотели узнать длину диагонали квадрата со стороной 1. Эта длина равна √2, что невозможно выразить в виде конечной десятичной дроби. Введение понятия квадратного корня позволило выразить эту длину и решать другие подобные задачи.
Рассмотрим уравнение x² = a. Если a > 0, то это уравнение имеет два решения: x = √a и x = -√a. Если a = 0, то уравнение имеет одно решение: x = 0. Если a < 0, то уравнение не имеет решений в области действительных чисел. Выбор именно неотрицательного числа в качестве арифметического квадратного корня обусловлен тем, что мы хотим иметь однозначно определенную функцию, которая будет обратна возведению в квадрат.
Почему мы выбираем именно неотрицательное число? Потому что функция f(x) = x² не является обратимой, так как разные значения x могут давать одинаковые значения f(x). Например, f(2) = 4 и f(-2) = 4. Ограничившись только неотрицательными числами, мы делаем функцию обратимой, и тогда √a – это единственное неотрицательное число, которое при возведении в квадрат дает a.
Арифметический квадратный корень тесно связан с понятием возведения в степень. √a = a1/2. Это означает, что извлечение квадратного корня эквивалентно возведению числа в степень 1/2. Это свойство позволяет применять правила степеней к операциям с корнями.
Подкоренное выражение – это выражение, находящееся под знаком радикала. Например, в выражении √9 подкоренным выражением является 9. Важно помнить, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть a ≥ 0. Это ограничение необходимо для того, чтобы арифметический квадратный корень был определен.
| Свойство | Пример |
|---|---|
| √a ≥ 0 | √9 = 3 ≥ 0 |
| √(a²) = |a| | √( (-5)²) = |-5| = 5 |
| √a * √b = √(a * b) | √2 * √8 = √(2 * 8) = √16 = 4 |
| √(a/b) = √a / √b (при b > 0) | √(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2 |
| √0 = 0 | √0 = 0 |
Эта таблица содержит основные свойства арифметического квадратного корня, которые необходимо знать и уметь применять при решении задач. Использование этих свойств позволяет упрощать выражения и находить значения корней.
Задача 1: Найдите значение выражения √81.
Ответ: 9
Задача 2: Упростите выражение √25x².
Ответ: |5x|
Задача 3: Вычислите значение выражения √16 * √9.
Ответ: 12
Извлечение квадратного корня из отрицательного числа: Ученики часто забывают, что арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Попытка извлечь корень из отрицательного числа приводит к ошибке. Как проверить себя: Убедитесь, что подкоренное выражение неотрицательно.
Неправильное применение свойства √(a²) = |a|: Ученики часто пишут √(a²) = a, забывая, что корень всегда неотрицателен. Например, √((-3)²) = √(9) = 3, а не -3. Как проверить себя: Помните, что результат извлечения корня должен быть неотрицательным.
Попытки извлечь квадратный корень из суммы или разности: Ученики ошибочно полагают, что √ (a + b) = √a + √b. Это неверно. Как проверить себя: Всегда раскрывайте скобки и преобразуйте выражение, прежде чем извлекать корень.
Забывание о раскрытии скобок после извлечения корня или при упрощении выражений с переменными под корнем: Например, при упрощении выражения √4x², часто забывают записать ответ как 2|x|, а не просто 2x. Как проверить себя: Проверяйте свои ответы, подставляя в исходное выражение различные значения переменных.
Действия с числами, понятие степени, ввод понятия переменной: Знание этих понятий необходимо для понимания определения и свойств квадратного корня. Мы используем действия с числами при вычислении значений корней, понятие степени при записи √a = a1/2, а переменную для обобщения операций с корнями.
Иррациональные числа, упрощение выражений с корнями, решение уравнений с корнями: Арифметический квадратный корень часто является иррациональным числом, например, √2. Мы используем свойства корней для упрощения выражений и решения уравнений, содержащих корни.
Чем отличается квадратный корень от арифметического квадратного корня?
Квадратный корень из числа *a* – это любое число, которое при возведении в квадрат даёт *a*. У такого числа два значения: положительное и отрицательное. Арифметический квадратный корень – это только неотрицательное значение квадратного корня. Мы изучаем именно арифметический квадратный корень, потому что он имеет однозначное значение.
Можно ли извлекать квадратный корень из отрицательного числа?
В области действительных чисел нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа, так как квадрат любого числа неотрицателен. Если бы мы попытались это сделать, нам бы пришлось обратиться к комплексным числам, что выходит за рамки школьной программы.
Что будет, если под корнем будет дробь?
Если под корнем есть дробь, нужно убедиться, что она положительная. В таком случае можно извлечь квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно, а затем разделить их: √(a/b) = √a / √b, где a и b положительные числа.
Зачем нужен арифметический квадратный корень, если есть квадратный?
Арифметический квадратный корень выделяют, чтобы операция извлечения корня была однозначной. Квадратный корень имеет два решения, а нас интересует только положительное, которое и обозначается знаком √.
Как упростить выражение, содержащее корень?
Чтобы упростить выражение с корнем, нужно попытаться выделить из подкоренного выражения полные квадраты, например, √12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3. Также нужно помнить о свойствах корней: √a * √b = √(a * b) и √(a/b) = √a / √b.
12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
