"Алгебра", Мерзляк А.Г., Поляков В.М. / Под ред. Подольского В.Е.
Квадратный корень помогает найти число, которое при возведении в квадрат даёт заданное значение. У положительного числа таких корней два, а знак √ обозначает только неотрицательный из них — арифметический квадратный корень. Поэтому важно различать, например, два решения уравнения x² = 25 и одно значение √25. Корень из отрицательного числа в действительных числах не определён.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен данному числу. Например, 4 — квадратный корень из 16, потому что 4² = 16; это определение помогает перейти от результата возведения в квадрат к исходному числу. Если число положительное, есть два таких корня: число и противоположное ему число, поскольку их квадраты равны.
Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — это его неотрицательный квадратный корень. Например, из двух квадратных корней числа 16, 4 и −4, арифметическим является только 4. Это понятие нужно, чтобы знак корня в записи имел одно определённое значение, а не обозначал сразу два числа.
Арифметический квадратный корень записывают знаком √: например, √16 = 4. Число или выражение, стоящее под этим знаком, называют подкоренным выражением; в записи √16 это число 16. Такое обозначение применяют только к неотрицательным значениям подкоренного выражения, чтобы получить действительное число.
Возведение в квадрат превращает число в его квадрат, например число 5 — в 25. Обратная задача состоит в том, чтобы по результату 25 найти исходные числа. Так возникает уравнение x² = a: нужно подобрать все числа x, квадрат которых равен a.
Если a положительно, уравнение x² = a имеет два решения. Когда одно решение равно √a, противоположное ему число −√a тоже подходит: при возведении в квадрат знак минус исчезает. При a = 0 оба возможных знака дают одно и то же число, поэтому x² = 0 имеет только решение x = 0.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен: положительное число при умножении на себя даёт положительный результат, а отрицательное — тоже положительный. Ноль в квадрате остаётся нулём. Поэтому уравнение x² = a не имеет действительных решений, если a < 0: квадрат не может равняться отрицательному числу.
В записи √a знак корня выбирает только неотрицательное значение, тогда как уравнение x² = a спрашивает обо всех подходящих значениях x. Например, уравнение x² = 9 имеет решения 3 и −3, но √9 равно только 3. Чтобы не потерять решение уравнения, нельзя заменять его записью x = √a без учёта второго корня.
Действительное значение √a существует только при a ≥ 0, так как отрицательное подкоренное выражение не может быть квадратом действительного числа. Полученный арифметический корень неотрицателен, а его квадрат возвращает исходное число: (√a)² = a и √a ≥ 0. Эти два свойства помогают проверять вычисления и отличать корень от произвольного числа, квадрат которого равен a.
| Что рассматриваем | Определение | Сколько значений | Условия |
|---|---|---|---|
| Квадратные корни из положительного числа a | Числа, квадраты которых равны a | Два: √a и −√a | a > 0 |
| Квадратный корень из нуля | Число, квадрат которого равен 0 | Одно: 0 | a = 0 |
| Квадратные корни из отрицательного числа | Действительных чисел, квадрат которых равен a, нет | Ни одного | a < 0 |
| Арифметический квадратный корень √a | Неотрицательное число, квадрат которого равен a | Одно значение | a ≥ 0 |
В таблице сначала проверьте знак числа a: от него зависит, существуют ли действительные корни и сколько их. Если нужно решить уравнение x² = a при a > 0, берите оба значения из второй колонки с учётом знаков. Если требуется вычислить √a, выбирайте только неотрицательное значение.
Задача 1. Найти все квадратные корни числа 49.
Ищем число, квадрат которого равен 49. Поскольку 7² = 49, число 7 подходит.
Проверяем противоположное число: (−7)² = 49, потому что произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, подходит и −7.
Записываем оба результата, так как речь идёт обо всех квадратных корнях, а не только об арифметическом корне.
Ответ: 7 и −7.
Задача 2. Вычислить √81 − √25.
Сначала вычисляем каждый арифметический квадратный корень отдельно. Так как знак √ задаёт неотрицательное значение, √81 = 9, а не ±9.
По той же причине √25 = 5. Оба числа под корнем — полные квадраты, поэтому их корни находятся напрямую.
Подставляем значения в исходное выражение и вычитаем: 9 − 5 = 4. Порядок действий здесь не меняется: сначала извлекаем корни, затем выполняем вычитание.
Ответ: 4.
Задача 3. Решить уравнение x² = 0,09 и отдельно записать значение √0,09.
Найдём число, квадрат которого равен 0,09: 0,3² = 0,09. Значит, одно решение уравнения — 0,3.
Противоположное число тоже подходит, так как (−0,3)² = 0,09. Поэтому уравнение имеет два решения: x = 0,3 и x = −0,3.
Теперь отдельно вычислим арифметический квадратный корень. Он должен быть неотрицательным, поэтому √0,09 = 0,3, а не два числа.
Ответ: x = 0,3 или x = −0,3; √0,09 = 0,3.
Для положительного a иногда записывают только один квадратный корень и забывают противоположное число. Так происходит, когда смешивают задачу об уравнении x² = a с вычислением √a. Проверка проста: возведите оба числа, √a и −√a, в квадрат — результат в обоих случаях равен a.
Некоторые считают, что √a — это два числа, потому что у положительного числа два квадратных корня. Но знак √ по определению обозначает только неотрицательное значение. Проверьте ответ по условию √a ≥ 0: например, √25 = 5, а число −5 — второй квадратный корень, но не значение выражения √25.
Нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах. Ошибка появляется, если забыть, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. Подставьте предполагаемый корень в квадрат: действительное число не сможет дать отрицательный результат.
Запись √(a²) = a верна не всегда: если a отрицательно, правая часть отрицательна, а значение корня неотрицательно. Поэтому правильно √(a²) = |a|, где |a| — неотрицательное расстояние числа от нуля. Например, при a = −3 получаем √((−3)²) = 3; подстановка отрицательного значения сразу выявляет ошибку.
Для работы с квадратными корнями нужно уметь возводить числа в квадрат, различать положительные и отрицательные числа и решать простейшие уравнения. Эти знания позволяют проверить, подходит ли найденное число, и понять, почему уравнение x² = a может иметь два решения или не иметь их.
Арифметический квадратный корень понадобится при упрощении выражений и решении квадратных уравнений. Он также встречается при изучении функций, в которых переменная или выражение находится под знаком корня; условие неотрицательности подкоренного выражения помогает определить, где такая функция задана.
Почему у положительного числа два квадратных корня?
Потому что число и противоположное ему число при возведении в квадрат дают одинаковый результат: a² = (−a)². Например, 7² = 49 и (−7)² = 49, поэтому у 49 два квадратных корня.
Чем квадратный корень отличается от арифметического квадратного корня?
Квадратный корень из положительного числа — любое число, квадрат которого равен этому числу, поэтому таких корней два. Арифметический квадратный корень — только неотрицательный корень, который записывают со знаком √.
Почему √25 равно 5, а не ±5?
Знак √ по определению обозначает только неотрицательный квадратный корень. Поэтому √25 = 5, а оба квадратных корня числа 25 — это 5 и −5.
Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?
В действительных числах — нельзя: квадрат любого действительного числа неотрицателен. Например, не существует действительного числа, квадрат которого равен −9.
Почему √(a²) не всегда равно a?
Значение квадратного корня неотрицательно, а число a может быть отрицательным. Поэтому √(a²) = |a|: например, √((−3)²) = 3, а не −3.
§ 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень
