§ 13. Функция у = х^2 и её график

Определения и обозначения

Функция y = x² — соответствие, при котором каждому значению x ставится в соответствие квадрат этого числа. Например, при x = 3 получаем y = 9, а при x = −3 тоже y = 9. Такое правило позволяет по любому выбранному аргументу вычислить значение функции.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), где y является значением функции при аргументе x. Для y = x² каждая точка графика получается так: выбираем x, вычисляем его квадрат и отмечаем пару (x; x²). Это представление помогает увидеть сразу множество значений функции и связь между аргументом и результатом.

Парабола — график функции y = x². Она имеет U-образную форму: две ветви поднимаются вверх, а левая и правая части зеркально расположены относительно оси Oy. Название графика удобно использовать вместо перечисления всех его точек и свойств.

Вершина параболы — точка (0; 0), в которой график y = x² достигает наименьшего значения. В этой точке ветви параболы соединяются и начинают подниматься в обе стороны. Зная вершину, легче правильно расположить график и определить, где меняется направление его движения.

Как это устроено

Чтобы построить таблицу значений, выбирают несколько значений x и для каждого находят квадрат. Например, при x = −2, −1, 0, 1, 2 получаются значения y = 4, 1, 0, 1, 4. Каждая пара чисел задаёт точку: число x откладывают по горизонтали, а y — по вертикали. После этого отмечают все точки на координатной плоскости и получают опорные места для графика.

График симметричен относительно оси Oy, потому что квадраты противоположных чисел равны: (−x)² = x². Например, аргументам −2 и 2 соответствуют одинаковые значения 4. Поэтому каждой точке слева от оси Oy соответствует точка справа на той же высоте. При построении достаточно найти точки для одной стороны и отразить их относительно оси.

Все значения функции неотрицательны: квадрат положительного или отрицательного числа не бывает отрицательным. Поэтому точки параболы лежат на оси Ox или выше неё, а ниже оси графика нет. Значение y равно нулю только тогда, когда x² = 0, то есть x = 0. Это объясняет, почему парабола касается оси Ox в начале координат и не пересекает её в другом месте.

Слева от вершины, если двигаться по графику слева направо, значения y становятся меньше: например, при переходе от x = −2 к x = −1 значение меняется с 4 на 1. Поэтому функция убывает при x ≤ 0. Справа от вершины значения растут: при переходе от x = 0 к x = 1 и x = 2 получаются 0, 1 и 4. Наименьшее значение функции равно нулю, поскольку квадрат не может быть меньше нуля.

Для аккуратного построения используют несколько вычисленных точек и свойство симметрии, а затем проводят через них плавную линию. Отрезки соединяют точки прямыми, тогда как значения x между выбранными числами тоже дают точки графика. Плавная кривая показывает, что переход от одного значения функции к другому происходит непрерывно. Перед завершением построения проверьте, что обе ветви зеркальны относительно Oy и не уходят ниже Ox.

Свойства функции y = x²

Таблица помогает быстро проверить построенный график и ответить на вопросы о функции. Например, если спрашивают, может ли y быть равным −2, достаточно посмотреть на множество значений. А по строкам об убывании и возрастании можно определить поведение графика слева и справа от вершины.

Разбор задач

Задача 1. Постройте график функции y = x², составив таблицу значений для x = −2, −1, 0, 1, 2.

1. Вычислим квадрат каждого аргумента: (−2)² = 4, (−1)² = 1, 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4. Значит, таблица значений имеет вид: x: −2, −1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4. Каждой паре соответствует точка графика.
2. Отметим точки (−2; 4), (−1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4) на координатной плоскости. Точки с противоположными аргументами имеют одинаковую высоту, поэтому уже по таблице видна симметрия относительно Oy. Проведём через них плавную U-образную кривую, не заменяя её отрезками.

Ответ: график — парабола с вершиной (0; 0), проходящая через указанные точки.

Задача 2. Определите по графику y = x² значения функции при x = −3 и x = 2, а также значения аргумента, при которых y = 4.

1. Чтобы найти значение функции при заданном x, находим на графике точку с этой горизонтальной координатой и считываем высоту y. Можно также вычислить квадрат: при x = −3 получаем 9, а при x = 2 получаем 4. Это согласуется с расположением точек параболы.
2. Теперь найдём аргументы, соответствующие высоте y = 4. Горизонтальная линия y = 4 пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси Oy. По графику их абсциссы равны −2 и 2; проверка: (−2)² = 4 и 2² = 4.

Ответ: при x = −3 значение функции равно 9, при x = 2 — 4; значению y = 4 соответствуют x = −2 и x = 2.

Задача 3. Найдите все значения x, для которых −1 ≤ x ≤ 2 и 1 ≤ x² ≤ 4.

1. Сначала разберём условие 1 ≤ x² ≤ 4 отдельно. Оно означает, что значение функции должно находиться между уровнями y = 1 и y = 4, включая границы. На параболе этим уровням соответствуют пары аргументов: y = 1 при x = −1 или 1, y = 4 при x = −2 или 2.
2. С учётом симметрии промежуток, где 1 ≤ x² ≤ 4, равен [−2; −1] и [1; 2]. Теперь оставим только числа, которые также удовлетворяют −1 ≤ x ≤ 2. Левый промежуток даёт лишь точку −1, а правый целиком входит в заданные границы.

Ответ: x = −1 или 1 ≤ x ≤ 2.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать, что функция может принимать отрицательные значения. Так думают, если забывают, что возведение в квадрат умножает число само на себя, а квадрат действительного числа неотрицателен. Проверьте любой пример и вспомните, что ниже оси Ox точек графика нет.
• Ошибка: при противоположных аргументах отмечать разные значения функции. Причина — знак минус перед x принимают за знак результата, хотя (−x)² = x². Проверьте пары аргументов x и −x: их точки должны находиться на одной высоте и быть равноудалены от Oy.
• Ошибка: считать, что парабола пересекает ось Ox в двух точках. Это возникает из-за того, что у графика две ветви, но нулю функции соответствует уравнение x² = 0, у которого единственное решение x = 0. Проверка проста: обе ветви сходятся в начале координат, и других точек с y = 0 нет.
• Ошибка: соединять вычисленные точки отрезками или рисовать несимметричную кривую. Отрезки появляются, когда считают, будто таблица задаёт только отдельные точки, а нарушение симметрии часто связано с ошибкой в квадрате отрицательного числа. Проверьте плавность линии и равенство значений при x и −x.

Связь с другими темами

Для построения графика нужны навыки возведения чисел в квадрат, работы с координатной плоскостью и составления таблицы значений. Поэтому полезно заранее уметь отмечать точку по её координатам и правильно вычислять квадрат отрицательного числа. Эти действия превращают правило функции в наглядную кривую.

Парабола y = x² пригодится при решении уравнений и неравенств: график позволяет увидеть, при каких x значение функции равно заданному числу или больше него. Позже свойства этой параболы помогут изучать квадратичные функции и преобразования графиков. Изменения формулы сдвигают или меняют вид исходного графика, поэтому понимание базовой параболы становится опорой для новых тем.

Что запомнить

• Функция y = x² определена при всех действительных x.
• Значения функции неотрицательны; её множество значений — [0; +∞).
• Нуль функции — x = 0; вершина графика — точка (0; 0).
• График функции y = x² — парабола, симметричная относительно оси Oy.
• Функция убывает на промежутке (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞).
• Наименьшее значение функции равно 0 и достигается при x = 0.

Как это устроено

На рисунке показано, как расположены ветви параболы относительно координатных осей. Вершина находится в начале координат, а точки с противоположными аргументами имеют одинаковую высоту. Поэтому график целиком расположен на оси Ox или выше неё.